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讨论课-5
代数与几何讨论课（五）（特征值,特征向量）
一、1．判断下列结论是否正确,并说明理由:
(1) 设是阶方阵,若, 则的特征值只能是零.
(2) 设是阶实方阵, 若, 则的特征值只能是1或0.
(3) 设是阶方阵的属于不同特征值的特征向量,则必有.
(4)设是阶方阵, 是的一个特征值, 是的基础解系, 则的属于特征值的全部特征向量为,是两个任意常数.
(5) 设是3阶方阵, 的特征值为0,0,1,, 是的基础解系, 是的非零解,则的全部特征向量为,是不全为零的任意常数.
(6) 设是阶方阵的特征向量,是阶可逆方阵,则是的特征向量.
(7) 设是阶方阵的特征向量,若可逆,则是的特征向量.
(8) 设是阶方阵,若的特征值都是1, 则与相似.
(9) 设是阶方阵,若, 则没有实的特征值.
(10) 设是阶方阵,若可相似于对角阵, 则的个特征值互异.
（11）．n阶矩阵A、B的n个线性无关的特征向量，则
（A）A~B，（B）A=B，（C），（D）|A－B|=0。
（15）．若A、B的特征值分别为(，(,则：
（A）A与AT有相同的特征值与特征向量；
（B）A+AT及AAT的特征值分别为2(及(2；
（C）A+B及AB的特征值分别为(+(及((。
二、下列矩阵可否相似对角化，又可对角化条件是什么？
1． 2．
3．
4．A，r(A)=2，A2+A=0。
三、A=(aij)n×n，旦A可逆，，证a－1为A－1的一个特征值，并求对应的特征向量。
四、A、B(Mn，An个互异的特征值。
证明：AB=BAA的特征向量也是B的特征向量。
五、A为三阶对称阵，(=1，2，－1，(1=(1,a+1,2)T，(a－1,－a,1)T分别为(=1，2对应的特征向量，A*的特征值为(0，且A*(0=(0(0，
其中(0=(2，－5a，2a+1)T，a及(0的值。
六、n阶矩阵A，B，
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