第6章求矩阵特征值与特征向量本章主要内容1.乘幂法和逆幂法2.docVIP

第6章 求矩阵特征值与特征向量 本章主要内容 1.乘幂法和逆幂法 2. 对称矩阵的特征值和特征向量的雅可比法。 重点、难点 一、乘幂法 乘幂法是求实方阵A按模最大的特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。是本章的重点内容。在学习时，同学们应注意对前两种情况的公式的理解和记忆。 1. 基本思想：任取非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1=AXk，k=0,1,…. 再根据k增大时，Xk各分量的变化规律，求出方阵A 的模最大的特征值及相应的特征向量。 2. 乘幂法的计算公式 设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：│λ1│≥│λ2│≥…≥│λn│，其相应的特征向量为 e1, e2,…, en，且线性无关。 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1=AXk，k=0,1,…. X0=a1e1+a2e2+…+anen .根据特征值λ的不同情况得下列三种计算公式 （1）λ1为实根，且│λ1││λ2│。当a1不为0，k充分大时，则有 （2）λ1为实根，且λ1=-λ2，│λ2││λ3│。当a1 ，a2不为0，k充分大时，则有 在实际应用乘幂法时，可根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况。 若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk+1≈cXk，则属于第1种情况； 若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式Xk+2≈cXk，则属于第2种情况； 在应用乘幂法计算特征值和特征向量时，为了防止溢出，也可采用迭代公式（6.6）进行迭代计算。 当A为对称矩阵时，可采用计算内积的方法加速迭代的收敛，即计算特征值λ1时可用公式，其精度与上式（1）中相当。 3. 乘幂法的计算步骤： ①任取初始非零初始向量X0（一般取X0=（1，1，1）T或X0=（1，0，0）T）。 ②作迭代序列Xk+1= AXk，k=0,1,…（也可以列表计算）。 ③根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况，选择所属公式。 ④代入公式计算出方阵A按模最大的特征值及相应的特征向量。 例1用乘幂法求矩阵按模最大特征值和特征向量。 【思路】任取初始向量X0，代入迭代序列Xk+1=AXk，进行迭代。 再根据Xk各分量的变化规律，判断所使用的特征值的计算公式，进行计算。 k x1 x2 x3 0 1 2 3 4 5 6 λ1 1 1 1 12 7 12 134 69 134 1478 743 1478 16266 8141 16266 178942 89487 178942 1968394 984229 1968394 11.000 10.999 11.000 解 取X0=（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式Xk+1=AXk，k=0,1,…. 计算列表如下： 因为迭代向量各分量单调变化，且满足Xk+1≈11Xk，则属于第一种情况， 所以 二、逆幂法 逆幂法是求实方阵A按模最小的特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。 1. 基本思想：设非奇异矩阵A的n个特征值为：λ1≥λ2≥…≥λn，其相应的特征向量为 e1, e2,…, en，则的特征值为其相应的特征向量仍为 e1, e2,…, en。 则求A-1按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。再利用幂法求A-1按模最大的特征值。 2. 逆幂法的计算公式 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1= A-1Xk，k=0,1,….它等价于AXk+1=Xk，k=0,1,….求得Xk+1 .当│λn-1││λn│，a≠0,k充分大时，则有 3. 逆幂法的计算步骤：（和乘幂法的计算步骤基本相同） ①任取初始非零初始向量X0（一般取X0=（1，1，1）T或X0=（1，0，0）T）。 ②作迭代序列Xk+1= A-1Xk，k=0,1,…（也可以列表计算）。在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解 A=LR，然后再求解方程组 ③根据迭代向量个分量的变化情况判断属于那种情况，选择所属公式。 ④代入公式计算出特征值及相应的特征向