一年中有几天下雨.pptVIP

一年内有多少天下雨 马尔柯夫过程模型 马尔柯夫过程介绍 一个典型的问题 马尔柯夫过程的理论 马尔柯夫理论的应用 结束 马尔柯夫过程介绍 事物的发展、变化有必然的，也有偶然的。 例如：天上的云由水蒸发而形成，这是必然的；而地上哪一天下雨，这有偶然性。 偶然性事件在数学中称为随机事件。 偶然事件可能性的大小在数学中称为概率。 我们若仔细观察就会发现：许多事物未来的发展或演变，往往受该事物现在的状况所支配，历史只是通过现在的状况来影响未来。 如轴承的磨损情况、各竞争企业的市场占有率等等， 一个未来完全由现在的状态所确定的过程称为无后效的。 马尔柯夫过程介绍 在本世纪初（1907年）俄国数学家马尔柯夫经过多次研究实验后发现：在某些事物的概率变化过程中，第n次试验的结果，常常由第n-1次试验的结果所决定。 这是一种无后效的随机过程。 由于马尔柯夫首先对此种过程作有系统的研究，所以，以后在学术研究上把这种无后效的随机过程即称为马尔柯夫过程。 下面是马尔柯夫过程的一个典型例子。 一个典型的问题 问题 某个沿海城市的天气变化有如下规律：如果今天下雨明天一定是晴天；如果今天是晴天则明天有50%的可能下雨。问该城市一年之中平均有多少天下雨？ 分析 按照问题的提法，可以认为该城市的天气分为晴天和下雨两大类。晴天和下雨都是随机出现的事件，后一天的天气情况完全由前一天决定。要求的是一年中平均下雨的天数，也就是一天中下雨的概率（可能性）。 一个典型的问题 数学描述 数学模型必须建立在对问题的数学描述的基础上。 为了方便和明确起见，我们设作为开始的某一天晴天和下雨的概率(可能性)分别为q0和y0 ，后一天下雨和晴天的概率分别为q1和y1 。 以此类推，后 n 天下雨和晴天的可能性分别为qn和yn 。 按前面的分析，我们需要求出 y ≡lim n→∞yn 一个典型的问题 模型的建立 由于后一天的天气完全取决于前一天，因此可以得到如下的关系： q k+1 = f (qk, yk); (1a) y k+1 = g (qk, yk). (1b) 其中函数 f 和 g 的具体形式待定。 由于天气不是晴天就是下雨，两者的可能性之和为 1 ，因此有限制条件： qk+ yk= 1， f (qk, yk) + g (qk, yk) = 1 (2) 一个典型的问题 按照今天下雨明天一定是晴天；如果今天是晴天则明天有50%的可能下雨的规律，由上面的限制条件不难得到： 1 = f (0, 1)， 0.5 = f (1, 0) ； (3a) 0 = g (0, 1)， 0.5 = g (1, 0) 。 (3b) 关系式(1)、(2)和(3)给出了这个问题的一般模型 。 然而，满足上述条件的函数 f 和 g 很多，我们要进行计算，就必须确定它们的具体形式。 怎样才能把得到的一般模型具体化呢？ 一个典型的问题 模型的具体化 在满足了问题的所有条件之后，如果得到的模型还不能具体确定，通常取最简单的可能方案。如果成功，问题就简单地解决了；如果失败，也可以在此基础上分析原因，进行修正。 在本题的情况下，最简单的是假定 f 和 g 都是自变量的线性函数，即 f = a q + b y , g = c q + d y (4) 一个典型的问题 利用条件（3），我们容易求出系数 a = 0.5, b = 0, c = 0.5 d = 1. 于是，（4）式成为 f = 0.5 q + y , g = 0.5 q 也就是 q k+1 = 0.5 qk+ yk ; (5a) y k+1 = 0.5 qk . (5b) 上式给出了天气问题的一个简化的具体模型。 一个典型的问题 求解 建立了具体的模型，下一步工作就是进行求解。 为了简化求解过程的表述，我们把公式（5）改写成矩阵形式，见右边： 一个典型的问题 右边的矩阵把前一天的概率转变为后一天的概率，称为概率转移矩阵，简称概率矩阵，记为 P。 利用概率矩阵 P，我们可以递推出第n天下雨和晴天的概率。 怎么求出