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* * 一、对称矩阵与反对称矩阵 定义 设A是n阶方阵。若 ，则称A是对 称矩阵；若 ，则称 A是反对称矩阵。 例 设A是任一n阶方阵，则 是对称矩阵， 是反对称矩阵。 例 设A是任一方阵，则 A可表示成一个对称矩阵 与一个反对称矩阵的和。 例 设 A与B是两个 n阶对称矩阵，I是 n阶单位矩阵。 证明：若A与 均可逆，则 也是对称矩阵。 证明 只需证 因为 ▌ 二、对角矩阵 定义 主对角元以外的元素全为零的n阶方阵 称为n阶对角矩阵。 对角矩阵通常简记为 或 当 时 例 对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。 例 对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵。 例 对角矩阵 A = 可逆的充分 必要条件是 全不为零。 当 A可逆时， 称之为数量矩阵。若k = 1，则数量矩阵即是单位矩阵。 定义 设 A 是分块矩阵 若子块 全是方阵，则称 A是准对角矩 阵，可简写为 例 设 A是准对角矩阵 则 A可逆的充分必要条件是子块 均可逆。 当 A可逆时， 三、三角矩阵 定义 设A与B是两个n阶方阵 则称 A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。 例 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全 不为零。 小结： 1. 熟练掌握矩阵的基本运算与性质 加法、数乘、乘法、幂、转置 2. 熟练掌握用初等行变换把矩阵化为阶梯形 3. 熟练掌握方阵可逆的有关结论 可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程 4. 熟练掌握Gauss消元法 解的判别、求解 例 解矩阵方程的初等变换法： （1）已知已知矩阵方程 AX=B，其中A可逆 [A，B] [I，A–1B]=[I，X] （2）已知已知矩阵方程 XA=B，其中A可逆。 例 已知矩阵 A与矩阵 B 满足 AX=B，求 X。 解 （法一）由前例已得 故 （法二） [ A，B] = 由此得 X ▌ 例 已知结论“若方阵 A满足 且 ，则 A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对 不正确的方法，请举例说明其问题所在： （法一） 因为 ，故 ………………. ① 因为 ，故 。于是由 ① 得，A=0。因此 A不可逆。 （法二） 反证：若 A可逆，则由 得 即 A=I，与已知条件矛盾。因此 A不可逆。 例 可逆的上(下)三角矩阵的逆矩阵也是上(下)三 角矩阵。 证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法： ▌ n = 2：设 可逆，则 故结论对2阶上三角矩阵成立。 n - 1：设结论对 n - 1阶上三角矩阵成立。 n：证明结论对 n阶上三角矩阵成立。 设 若A可逆，则 均不为零。而 也 是上三角阵，故 可逆。又 是 阶的，故由归 纳法假设可得： 的逆矩阵也是上三角矩阵。 根据 A，对 A的逆矩阵 分块 其中 是 n - 1阶方阵。因 由此得 因 可逆，故 所以， 因 是上三角矩阵，故 也是上三角矩阵。 例 设 A= 是n阶方阵。若下列方阵 （称为A的顺序主子阵）均满秩，则 A可表示成 A = LU ▌ 其中L是主对角元全为1的n阶下三角矩阵，U是n阶可 逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解（ LU分解）。 对线性方程组 若系数矩阵 A有三角分解 A = LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组 对 LY=b 只需前代、对 UX=Y 只需回代既可求解。 例 某林场计划种植供圣诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表： 林场管理者需面