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第十九章 四边形 专题总结及应用 知识性专题 专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质 【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题. 例1 下列说法错误的是 ( ) A.平行四边形的对角相等 B.等腰梯形的对角线相等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B，C都是正确的.D不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形. 答案：D 【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分. 例2 如图19-125所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，设△DEA的面积为，梯形ABCD的面积为，则与的关系为 . 分析 由E为BC的中点，延长DE与AB的延长线交于点F，由CD∥AB，得，又因为所以△CED≌△BEF，所以DE=EF，所以S菱形ABCD= S△DAF.由等底等高的三角形面积相等，得= S△AFE=，即或. 答案：（或） 【解题策略】根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系. 例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，于点E，于点F. （1）求证△ABF≌△DAE； （2）求证. 分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和，则问题可证. 证明：（1）在正方形ABCD中， ∴. ∵∴，∴. 又∵∴∴△ABF≌△DAE（AAS）. （2）由（1）可知△ABF≌△DAE，∴ ∴即. 专题2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系 【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题. 例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分，则的度数a满足 （ ） A.90°＜a＜180° B.a=90° C.0°＜a＜90° D.a随关折痕位置的变化而变化 分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由△GCF≌△GEF得，又有，所以所以. 答案：B 例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是30，那么这个菱形的另一条对角线长为 ㎝. 分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为（㎝）. 答案：5 例6 如图19-128所示，的周长为16㎝，AC，BD相交于点O，，交AD于点E，则的△DCE周长为 （ ） A.4㎝ B.6㎝ C.8㎝ D.10㎝ 分析 因为的周长为16㎝，所以（㎝），因为O为AC的中点，又因为于点O，所以，所以△DCE的周长为（㎝）. 答案：C 二、规律方法专题 专题3 构造中位线解决线段的倍分关系 【专题解读】 题目中涉及或2倍关系时，常常考虑构造中位线. 例7 四边形ABCD为平行四边形，∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点. （1）求证 （2）若求BE的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积. 证明：（1）如图19-129所示，延长DC交BE于点M， ∵BE∥AC，AB∥DC， ∴四边形ABMC是平行四边形. ∴∴C为DM的中点. ∵BE∥AC，∴CF是△DME的中位线，∴. 解：（2）由（1）得CF是△DME的中位线，故. 又∵∴. ∵四边形ABMC是平行四边形，∴. ∴. 又∵， ∴在Rt△ADC中，利用勾股定理得.∴. （3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分. 在Rt△ADC中利用勾股定理得. 由CF为△DME的中位线得. ∴. 由四边形ABMC是平行四边形得. ∴梯形ABMD的面积为. 由和BE∥AC，得三角形DME是直角三角形， 其面积为， ∴四边形ABED的面积为. 专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题 【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题. 例8 如图19-130所示，在中，是DC的中点，E是垂足，求证. 分析 添加辅助线MN，交BE于F.N为AB中点，由已知条件证得.由三角形中位数性