中考数学思维方法讲【第13讲】直线和圆的位置关系(含答案).doc

状元廊学校数学思维方法讲义 年级：九年级 第13讲 直线和圆的位置关系 圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。 【知识纵横】 §Ⅰ直线和圆的位置关系： 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d． ⑴直线与圆相交d__ ____ r； ⑵直线与圆相切d__ ____ r； ⑶直线与圆相离d__ ____r。 §Ⅱ圆的切线 1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___； 2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； 3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”： 一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点； 二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断； 三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。 4．四条性质：切线有许多重要性质 ⑴圆心到切线的距离等于圆的_____； ⑵过切点的半径垂直于_____； ⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过_____； ⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过_____。 5．弦切角 定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角； 定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 推论 a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等； b)弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。 【典例精析】 考点1: 直线和圆的位置关系 【例1】1、如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是__________． 2、射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）． 变式一： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E． （1）当点D运动到线段AC中点时，DE= ； （2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE= 时，⊙C与直线AB相切． 2、如图，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠C=90°，且ABAD+ BC，AB是⊙O直径，则直线CD与⊙O的位置关系为_____ _． 点2: 圆的切线的性质基本运用 【例2】已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F． （1）若⊙O的半径为8，求CD的长； （2）证明：PE=PF； （3）若PF=13，sinA=，求EF的长． 变式二： 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：=FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 考点3:切线的判定定理运用 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙的切线 （2）如果⊙的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长． 【例5】如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）求证：△ACM∽△DCN； （3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长． 变式三： 如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接． （1）求证：直线是的切线；（2）连接交于点，若，求的值． 【思维拓展】 【例6】如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明； （3）若AC=