为什么用单位圆上点坐标定义任意角的三角函数.doc

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 四川省仁寿县钟祥中学 余仁宏 620593 在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）： “如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： （1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y； （2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x； （3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）． 可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．” 1．部分教师的疑惑和意见 由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点： 第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”． 第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．” 第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便． 为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始． 2．对三角函数发展历史的简单回顾 回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角． 三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算． 任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．” 任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关