主干知识解答题强化练—函数导数及其应用.doc

1.已知函数，（其中实数a，b为常数） (Ⅰ) 若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“”发生的概率； （Ⅱ)是R上的奇函数，是在[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时，的解析式； （)的导函数为，当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使得=，求实数b的取值范围. 1.解：(Ⅰ) (a，b)的取值共有9种：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，其中满足的有6种：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，故事件A的概率为； （Ⅱ)是奇函数，∴，∴，， 当a≥1时，∵x∈[-1，1]，∴，在[-1，1]上递减，， 当a≤-1时，，在[-1，1]上递增，， ∴ （) 当a=1时，，，问题等价于在[0，2]上的值域包含于在[0，2]上的值域.显然在[0，2]上的值域是[-1，3]. 而时，，时，，∴在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，有最小值，又，∴在[0，2]上的值域为[，]，由[，]([-1，3]得：且， 故a的取值范围是. 2.设函数=（为自然对数的底数），，记． （Ⅰ）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围． 2.解：（Ⅰ）， ∴， 令，则， ∴在上单调递增，即在上单调递增．…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增，而， ∴有唯一解， …………8分 的变化情况如下表所示： x 0 － 0 ＋ 递减 极小值 递增 … … …………………………10分 又∵函数有两个零点， ∴方程有两个根，即方程有两个根 ………12分 而，， 解得． 所以，若函数有两个零点，实数a的取值范围是（02） （I）当时， （i）求函数的单调区间，并说明其单调性； （ii）对于，函数是否一定存在零点？请说明理由； （II）当a=1时，若对于任意正实数b，关于x的不等式上恒成立，求实数m的取值范围。 3．解：（I）（i）， …………2分 （ii）由（i）知 …………6分 由于故且，故 故当且仅当无零点。 …………8分 （II）由题意得上恒成立， 在上是增函数，在上是减函数…………………………9分 (1) 当即在上是减函数， 故 ………………………………………………10分 （2）当，上是减函数， 又 故①当……………………………11分 ②当…………………………………12分 （3）当 综上，当………………13分 故当 …………14分 又因为对于任意正实数b，不等式 4. (本小题14分) 已知函数． (Ⅰ) 若为的极值点，求实数的值； (Ⅱ) 若在上为增函数，求实数的取值范围； (Ⅲ) 若时，方程有实根，求实数的取值范围． 4.解：（Ⅰ） ∵为的极值点，∴， ∴且， ∴. 又当时，，从而为的极值点成立。 （Ⅱ）因为在上为增函数， 所以在上恒成立. 若，则， ∴在上为增函数不成立； 若，由对恒成立知。 所以对上恒成立。 令，其对称轴为， 因为，所以，从而在上为增函数。 所以只要即可，即 所以 又因为，所以． （Ⅲ）若时，方程 可得 即在上有解 即求函数的值域． 法一：， 令 由（） ∴当时，，从而在(0，1)上为增函数； 当时，，从而在(1，+∞)上为减函数。 ∴，而可以无穷小。 ∴的取值范围为. 法二： 当时，，所以在上递增； 当时，，所以在上递减； 又，∴令，. ∴当时，，所以在上递减； 当时，，所以在上递增； 当时，，所以在上递减； 又当时，， 当时, ，则，且 所以的取值范围为. 5.已知函数 （I）求证函数在上单调递增； （）函数有三个零点，求的值； （）对恒成立，求的取值范围（I） （2分） 由于，故时，，所以， 故函数在上单调递增 （）令，得到 的变化情况表如下： 0 一 0 + 极小值 因为函数 有三个零点，所以有三个根， 因为当时，， 所以，故 （）由（）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增。 所以 记(x1)则（仅在时取等号）， 所以递增，故， 所以 于是 故对 ，所以，，（其中e是自然对数的底数）（I）与在处有相同的切线； （II）的极大值为，是否存在整数m，使恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由. 6.解：（Ⅰ），． ……4分