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四川省普通高等学校“专升本”选拔
《高等数学》考试大纲(理工类)
总体要求
考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论;掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。
考试用时:120分钟
考试范围及要求
一 函数、极限和连续
二 一元函数微分学
三 一元函数积分学
四 向量代数与空间解析几何
五 多元函数积分学
(一)二重积分
1. 理解二重积分的概念的性质
性质1 有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和(也叫逐项积分),即
.
性质2 常数因子可以提到积分号外作因子,即
.其中相对积分变量与而言是常数。
性质3 (可加性) 二重积分对积分区域具有可加性,即,若,,
则 .
性质4 如果在上,,为的面积,那么
.
性质5 (比值定理) 如果在上,,那么
.
性质6 (估值定理) 设、分别是在上的最大值和最小值,为的面积,那么
.
性质7(二重积分中值定理) 如果在闭区域上连续,为的面积,那么在上至少存在一点,使得
.
2. 掌握直角坐标系下极坐标系下二重积分的计算方法型积分区域: 区域可表示为:
(2)型积分区域:区域可表示为:
综合上所述,在直角坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是:
① 作出积分区域示意图,通过解方程组求出积分区域边界曲线交点的坐标;
② 根据被积函数和积分区域的特点,决定二次积分的顺序;
③ 将区域看作为型或型积分区域,并用相应的不等式组表示;
④ 确定每个单积分的积分上(下)限,将二重积分化为二次积分(这是关键步骤,尤其是在直角坐标系下交换二次积分顺序时,更为重要);
⑤ 计算出两个单积分,得到二重积分的结果。
例 1 (攀枝花学院: 理科——解答题6分)3、计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.
例 2 (攀枝花学院: 文科——解答题6分)计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.
例 3 (成都理工大学2013: 理科及文科——解答题8分)
计算二重积分:;其中D:;
当极点与原点重合、极轴正方向与轴正方向重合且有相同长度单位时,平面内点的直角坐标与其极坐标有变换关系
, .
显然,被积函数可变换为
.
① 极点在积分区域的外部时,积分区域可用不等式组
表示,从而二重积分化为:
.
② 极点在扇形积分区域的顶点处时,积分区域可用不等式组
表示,从而二重积分化为:
.
③ 极点在积分区域的内部时,积分区域可用不等式组
表示,从而二重积分化为:
.
极坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是:
① 根据被积函数和积分区域的特点选择适当的坐标系。如果积分区域属于圆面域、扇面域、圆环域等与圆有关的区域,或者被积函数具有特点时,可以试用极坐标计算二重积分;否则,试用直角坐标计算二重积分。
② 作出积分区域示意图,计算出积分区域边界曲线交点的坐标,用几何直观法,将区域看作型、型、极坐标型区域,并用相应的不等式组来表示。
③ 确定两个单次积分的上、下限,将二重积分化为二次积分(这是最关键的步骤)。
④ 依次计算出两个单积分(注意使用某些运算技巧),得到二重积分的结果。
例1 (攀枝花学院: 文科——解答题6分) 计算,其中是由不等式所表示的区域。
(3)交换积分次序的方法
① 根据原来二次积分写出积分区域的不等式组表达式;
② 画出区域的示意图,并将区域看作为另一类型的积分区域,写出相应的不等式组表达式;
③ 将原二次积分化为新的二次积分。
例1 (攀枝花学院:文科——选择题3分)交换积分次序为 ( ).
(A). (B).
(C). (D).
例2 交换积分次序
例 3 (成都理工大学2014:选择题3分)
7.二次积分在直角坐标系下可以表示为【 】
(A); (B);
(C); (D).
二重积分时,以为底,曲面为曲顶的柱体体积为.
当时,曲顶的柱体体积为.
空间曲面的面积:设曲面方程为 ,曲
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