专升本不定积分教案.ppt

第一节 不定积分的概念 二、 基本积分表 第二节 不定积分的运算法则 第三节 换元积分法 二、第二类换元法 第四节 分部积分法 说明: 例14 例15 或解 例19 解法1 解法2 解法3 例20 解 例21 设 求 . 令 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。 回代,得 问题 解决方法 “根式替换” 称为第二换元法 回 代 例1 解 “根式替换” 例2 解 例5 求 解 令 例4 解 三角替换 正弦替换 例5 解 正切替换 例6 解 正割替换 说明： 以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的, 有时可灵活采用别的方法 . 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。 例7 解 或解： 倒数代换 例8 解 或解： （练习） 基本积分表 ? 例9 例10 例11 例12 凑微分 分部积分公式 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分的过程： 在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为 “ 分部积分法 ” 。 分部积分法中先积函数（ v′(x ) ）的选择，一般可以遵照 “反对幂指三” 的原则，也就是排在前面的函数，作为U,剩下的为v′（与dx凑微分后成dv）为好。 * 不定积分 例 一、原函数与不定积分的概念 定义 不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算. 本章所讲的内容就是导数的逆运算。 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？ 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数) 唯一性？ 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 定义 例1 求 解 解 例2 求 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 或 或 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 基本积分表 ? (k是常数); 说明： 基本积分表 ? (k是常数); 基本积分表 ? 例3 求积分 解 根据积分公式（2） 例4 设曲线通过点(1,3), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点(1,3) 所求曲线方程为 -2 -1 O 1 2 x -2 -1 1 2 y y?x2+2 y?x2 (1, 3) ． 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 例1 例2 例3 直接积分法 例4 例5 例8 例9 例10 问题 一、第一类换元法 (凑微分法) 凑微分 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同. 例1 例2 运用 d ( x+ k ) =dx 例3 运用 d ( ax + b ) = a dx 例4 运用 d (x2 ) = 2x dx (1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式, 依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d?(x) . 如 (2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d?(x) .如 “凑微分”的方法有: 方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！ 常用凑微分公式： 等等. 例5 例6 例7 例7 例8 例9 例10 练习 一 6. 7. 8. 例11 另： 例12 类似地， 例13 练习 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. * * *