3.1生存模型与生命表.ppt

结论（1） （2） （3） 死亡力与生存函数、密度函数的关系 证明： 死亡概率、生存概率与死亡力的关系 结论： □ 三个函数之间转换的例子 求生存分布和死亡力。 ■例4 设密度函数为 解： 根据死亡力函数的定义，对 ， ■例5 设生存分布为如下形式，即服从指数分布（其中 为参数） 求出相应的死亡力。 解： 下面求x岁个体的分布函数和密度函数。 ■例6 设密度函数为 □例7 已知当 时， 计算 和 。 提出者 参数的要求 De Moivre（1729） Gompertz（1825） Makeham（1860） Weibull （1939） 几种常见的死亡力函数 练习： 1、验证函数 可作为生存函数，并给出 对应的死亡力，T0的密度函数与分布函数. 2、设 3、设 4 已知生存函数 计算 和 。 第三节 生命期望值 定义（两个期望生存时间） 其中，前者为(x)个体寿命的期望值（完全生命期望值），后者为（x）个体生存整年数的期望值（简单生命期望值），且两者之间满足不等式 下面讨论这两个期望值的具体表达式： □定理 （1） 和 与生存函数有如下的关系： （2） 和 的二阶矩满足下面的公式： □补充定理 对非负随机变量 及正整数n，若 ，则有 其中， 第三章 生存模型与生命表 一、关于生存模型 （1）通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单，按照寿险保单的约定，保险人（即保险公司）根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金； （2） 这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称为条件支付，其重要特征是它发生的不确定性，一个人的未来生存时间是不确定的（事先不可预知）； （3）被保险人在未来某个时期的生死是不确定事件，对这个不确定事件的研究是寿险精算的主要工作之一，他决定着保险金的给付与否，他的研究把数学和生存与死亡概率联系在了一起。 从数学的角度看，生存与死亡状态是一个简单的过程，这个过程有以下特征： （1）存在两个状态：生存和死亡； （2）对单个个体可描述出它们所处的状态：即可划分为生存者和死亡者； （3）生命个体可从“生存状态”转化到“死亡状态”，但不能相反； （4）任何个体的未来生存时间是未知的，所以只能从生存与死亡的概率探讨并着手去研究生存状态； （5）生存模型就是对这一过程所建立起来的数学模型，用数学公式作清晰地描述，从而对死亡率的问题做出部分解释。 □下面就是生存模型可给出回答的一些问题： （1） 一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？ （2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？ （3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！） （4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民未来的生存时间有怎样的影响？ 二、新生婴儿的生存分布 T0：一个刚出生的个体的寿命 下面引入生存分布概念。 假定T0的分布函数和密度函数 □ 生存函数（或生存分布） 定义：寿命X的生存函数（或分布）为 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率： 注：生存函数 的性质 ■ 例如：（1）一个0岁的人在50岁之后死亡的概率是 ；（2）而在60岁之前死亡的概率可表示成 （3）而在50岁到60岁之间死亡的概率可表示为 三、 岁个体的生存分布 一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号(x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为一随机变量，记为 ，则 。 又记 的整数部分为 ，小数部分为 则 Tx的分布函数： 生存函数（生存分布）： 密度函数： 同时， 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 表示。 所以有， 其中 为参数，求 。 ■例1 设生存分布函数为 四、未来生存时间的密度函数（一些国际通用精算表示法） 1） 个体(x)在x+1岁仍然生存的概率；