3.2 状态转移矩阵计算.ppt

塞尔维斯特内插法计算矩阵指数函数(4/4) 利用上式去计算矩阵指数函数eAt的关键是如何计算待定函数?i(t)。 下面分 A的特征值互异 A有重特征值 两种情况来讨论如何计算?i(t)以及eAt。 A的特征值互异(1/4) (1) A的特征值互异 设矩阵A的n个互异特征值为?1,?2,…,?n,则矩阵A的最小多项式?(?)等于特征多项式f(?)=|?I-A|=?n+a1?n-1+…+an-1?+an。 因系统的所有特征值?i使特征多项式f(?i)=0,故与前面证明过程类似,我们亦有 其中待定函数?i(t)(i=0,1,…,n-1)与矩阵指数函数eAt的表达式中的?i(t)一致。 A的特征值互异(2/4) 因此,可得如下待定函数?i(t)(i=0,1,…,n-1)的线性方程组: 求解上述方程得函数?i(t)后,由式(3-49)可计算得矩阵指数函数eAt。 A的特征值互异(3/4)--例3-7 例3-7 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数 解 由于矩阵A的3个特征值互异,并分别为-1,-2和-3,因此解方程组(3-52)可得 A的特征值互异(4/4) 则系统的状态转移矩阵为 A有重特征值(1/4) (2) A有重特征值 由于矩阵A与它的约旦矩阵 具有相同的最小多项式?(?),因此由前面的推导过程可知,约旦矩阵 也满足 设A与 的特征值?i的代数重数为mi,则由上式很容易证明?i(t)满足 求解上述方程,则可求得待定函数?i(t)。 A有重特征值(2/4) 为清楚说明问题,设A和 有如下6个特征值:?1,?1,?1,?2,?2,?3。 则相应的矩阵指数函数计算式(3-49)中的待定函数?i(t)(i=0, 1,…,5)的计算式为 A有重特征值(3/4)—例3-8 值得指出的是,上述塞尔维斯特内插法不仅对矩阵A的最小多项式成立,而且对所有矩阵A的零化多项式也成立。 因此,在难以求解最小多项式时,上述方法中的最小多项式可用矩阵A的特征多项式代替,所得结果一致,仅计算量稍大。 例3-8 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数 A有重特征值(4/4)—例3-8 解 解矩阵A的特征方程, 得特征值为1,1和2。 由于特征值2为二重特征值,下面按基于 最小多项式和 特征多项式 两种多项式用塞尔维斯特插值法计算矩阵指数函数。 A有重特征值(5/4)—例3-8 (1) 基于最小多项式计算。 先计算伴随矩阵 因此,伴随矩阵adj(?I-A)各元素的最高公约式为(?-2),故最小多项式?(?)为 A有重特征值(6/4)—例3-8 由于最小多项式的阶次为2,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为 因此,待定函数?i(t)(i=0, 1)计算如下 则系统的矩阵指数函数为 A有重特征值(7/4)—例3-8 (2) 基于特征多项式计算。 由于特征多项式的阶次为3,则根据塞尔维斯特插值法,矩阵指数函数可以表示为 因此,待定函数?i(t)(i=0, 1,2)计算如下 A有重特征值(8/4)—例3-8 则系统的矩阵指数函数为 Ch.3 线性系统的时域分析 目录(1/1) 目 录 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结 状态转移矩阵计算(1/1) 3.2 状态转移矩阵计算 在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵?(t)的计算。 对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算。 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他3种常用方法。 级数求和法 约旦规范形法 化eAt为A的有限多项式矩阵函数法 重点推荐 级数求和法(1/3) 3.2.1 级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知: 矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。 由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。 类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。 级数求和法(2/3) 显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果。 其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低 非解析方法,难以得到计算结果的简洁的解析表达式 。 级数求和法(3/3)—例3-4 例3-4 用直接计