5.逻辑代数基本公式与化简(数字系).ppt

* 回顾： 1、逻辑函数的表示方法 逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图 2、三种常用表示方法之间的转换 （1）由真值表求逻辑函数式 （2）由逻辑函数式列出真值表 （4）由逻辑图写出逻辑函数式 （3）由逻辑函数式画出逻辑图 回顾： 3、最小项的概念 最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式） 最小项：设 m 为包含 n 个因子的乘积项，且这 n 个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称 m 为 n 变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。 最小项的编号规则：把最小项 m 值为1 的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi 。 回顾： 4、最小项的其性质 最小项的性质： a) 对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1； b) 任意两个最小项之积为0； c) 全体最小项之和为1； d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。 §1.5 逻辑代数的公式和运算规则 二、逻辑代数的运算规律 一、逻辑代数的基本运算规则 逻辑代数基本公式 反演律 A+B=A?B 18 A ?B=A+B 9 分配律 A+（B?C） =（A+B)? (A+C) 17 A ?（B+C）=A ? B + A ? C 8 结合律 A+（B+C）=（A+B）+C 16 A ?（B ?C） = （A ?B） ?C 7 交换律 A+B=B+A 15 A ?B=B ?A 6 互补律 A+A=1 14 A ?A=0 5 重叠律 A+A=A 13 A ? A= A 4 还原律 A=A 12 1=0; 0=1（公理） 3 01律 A+1=1 11 A ? 1=A 2 01律 A+0=A 10 A? 0=0 1 规 律 公 式 序号 公 式 序号 德?摩根（De. Morgan）定理 A ? AB=A ? B；A ?AB=A 24 吸收律 AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC 23 A?（A+B）= A 22 A? B+A ? B=A 21 吸收律 A+A ? B=A+B 20 吸收律 A+A? B=A 19 规 律 公 式 序号 逻辑代数常用公式 一、 逻辑代数的基本运算规则 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。 0和1表示两个对立的逻辑状态。 例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。 基本运算规则 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 乘运算规则: 0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1 非运算规则: 三个基本定理（P.27） 在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 2. 反演定理 在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：Y 。 1. 代入定理 3. 对偶定理 在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：Y’。若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。 二、逻辑代数的运算规律 1、交换律 2、结合律 3、分配律 A+B=B+A A? B=B ? A A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A? (B ? C)=(A ? B) ? C A(B+C)=A ? B+A ? C A+B ? C=(A+B)(A+C) 普通代数不适用! 求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC ; 分配律 =A +A(B+C)+BC ; 结合律 , AA=A =A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A ? 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC ; A ? 1=1 =左边 4、吸收规则 （1）原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+AB=A(1+B)=A?1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： 被吸收 吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉 ? 被消化了。 长中含短 留下短。 （2）反变量的吸收： 证明： 例如：