8-3曲面及其方程.ppt

(2) 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 内容小结 思考与练习 * * 给定 yoz 面上曲线 C: 设所求曲面上的动点为 故旋转曲面方程为： 当绕 z 轴旋转时, 设 则有 则有 该点转到 则点 一定是曲线上的某点转过来的. 总之：旋转曲面的方程： yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转 曲面的方程： yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0绕y轴旋转一周的 旋转曲面的方程为 例3. 求xoz坐标面 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 P26例5 x y z 旋转抛物面 o y z x 如 该曲面叫圆锥面. 方程的特点： a=1时， 叫标准圆锥面. 三元二次齐次方程. 同理： 中心轴是 y 轴 中心轴是 x 轴. 也是标准圆锥面. 也是标准圆锥面. 是上半圆锥面. 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, （2）求柱面方程 设母线//z轴， 准线是xoy面 上的曲线F(x,y)=0. 设M(x,y,z)是柱面上的任一点， 作 面于N， 则N(x, y)是曲线F(x,y)=0上的点， 则得M(x,y,z)点满足的方程为F(x,y)=0. 所以曲面方程为： F(x,y)=0. x z y o N M(x,y,z) F(x,y)=0 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征： 只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0， 在空间直角坐标系 中表示母线平行于z 轴的柱面， 而准线为xoy面上的 g(y,z)=0是母线//x轴, g(y,z)=0所构成的柱面. 类似地： 准线为yoz面内的曲线 h(x,z)=0是母线//y轴, h(x,z)=0所构成的柱面. 准线为xoz面内的曲线 注意： 柱面方程一定是二元方程， 缺少哪个变量字母， 母线就平行于哪个坐标轴. 曲线 . 椭圆柱面 x y z o 抛物柱面 双曲柱面 例如： 母线//x轴 母线//z轴 母线//y轴 抛物柱面 平面 例5 问方程 表示什么曲面？ z x y o 抛物柱面 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面----二元方程 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 1. 指出下列方程的图形: 四、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 o z y x o z y x 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面与平面 的交线为点(0,0,±c) 椭球面与平面 无交点 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 的交线为圆. 球面 方程可写为 * * * *