8.二次型与二次曲面.ppt

哈尔滨工业大学数学系 8.4 空间中的曲面和曲线 2.旋转曲面: 旋转曲面特点: (2-1)双叶旋转双曲面 (2-2)旋转单叶双曲面 (3)旋转抛物面 (4)圆锥面 3.柱面: (2).双曲柱面 (3).抛物柱面 球面、旋转曲面、柱面 二.空间曲线: 螺旋线 2. 空间曲线C在平面π上的投影: 例1: 图例 例2: 8.5 二 次 曲 面 例3: 2.简化后的三元二次方程分类 (二)、λ1 、λ2 不为零,λ3 = 0 二. 描 图 1.椭球面: 2.单叶双曲面 5.椭圆抛物面 练习: z =0 . 1 y x z o 解 L . . . 得交线L： . 投影柱面 由 图例 x = y = z = acos t bt asin t 求螺旋线C: 在坐标面上的投影. 往xOy 面上投影: 解: x = y = z = acos t 0 asin t 往yOz 面上投影: y = z = x = asin t bt 0 往zOx 面上投影: x = z = y = acos t bt 0 一.二次方程的化简和分类 Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Eyz+2Fzx+Gx+Hy+Lz +M=0 1.化简: (1).用正交变换去掉混合二次项,得 λ1 x12+λ2 y12+λ3 z12+G1x1+H1y1+L1z1 +M1=0 (2).用平移变换(配方法)尽量去掉一次项. f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 . 判断下面二次曲面为何种二次曲面 解: 6 0 2 0 -2 0 2 0 6 A= , λ =8 , 4 , -2 , - P=(P1,P2,P3)= √2 2 √2 2 0 √2 2 √2 2 , 0 0 0 1 (1). 即: x = x1 + y1 √2 2 √2 2 z = x1 - y1 √2 2 √2 2 y = z1 取 x y z x1 y1 z1 =P , f(x,y,z)=6x2-2y2+6z2+4xz+8x-4y-8z -2=0 . 取: x = x1 + y1 √2 2 √2 2 z = x1 - y1 √2 2 √2 2 y = z1 8 x12+4 y12-2 z12+8√2y1-4z1 -2=0 (2). (配方) 8 x12+4 ( y1 +√2) 2-2( z1+1) 2= 8 取平移变换 x2 y2 z2 x1 y1 +√2 z1 +1 = , 8 x22+4 y22-2 z22= 8 即 x22+ - =1 y22 2 z22 4 单叶双曲面. (一)、λ1 、λ2 、λ3全不为零 λ1 x2+λ2 y2+λ3 z2= d 椭球面 a = b ？ a = b = c ？ 单叶双曲面 a = b ？ 双叶双曲面 b = c ？ x2 a2 y2 b2 z2 c2 - - =1 3 o x2 a2 y2 b2 z2 c2 + + =1 1 o x2 a2 y2 b2 z2 c2 + - =1 2 o 二次锥面 a = b ？ x2 a2 y2 b2 z2 c2 + - =0 4 o λ1 x2+λ2 y2= c z + d 椭圆抛物面 p = q ？ x2 2p y2 2q + = z ( p、q同号) 5 o 双曲抛物面 x2 2p y2 2q - = z ( p、q同号) 6 o (马鞍面) x2 a2 y2 b2 + =1 7 o x2 a2 y2 b2 - =1 8 o (三)、λ1 不为零, λ2 = λ3 = 0 λ1 x2= b y + c z + d ( b 、c不全为零) y2 = 2px 9 o 柱面 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 - - =1 3 o x2 a2 y2 b2 z2 c2 + + =1 1 o x2 a2 y2 b2 z2 c2 + - =1 2 o 二次锥面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 + - =0 4 o 椭圆抛物面 x2 2p y2 2q + = z ( p、q同号) 5 o 双曲抛物面 x2 2p y2 2q - = z ( p、q同号) 6 o x2 a2 y2 b2 + =1 7 o x2 a2 y2 b2 - =1 8 o y2 = 2px 9 o 椭圆柱面 双曲柱