建模 路灯照明问题.doc

数学实验与数学建模 路灯照明问题 年级：20121060025 班级：电子信息科学与技术 学生姓名：吕佳琪 学号：20121060025 云南大学信息学院 路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何20m，可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。 关键词：路灯照明 方程（组） MATLAB 最值 一、问题重述 在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何.假设把两个路灯视为质点； 2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响； 3.假设路灯为同一型号； 4.假设路灯的光照强度； 5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线； 6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m； 7.假设路灯正常工作； 三、变量说明 K………………………………路灯光照强度系数 P…………………………………路灯的功率 S………………………………道路的宽度 αi………………………………路灯光线与地面的夹角 Ri………………………………路灯到路面上某点的距离 hi………………………………路灯离地面的垂直距离 X………………………………2KW路灯的投影到路面上某点的距离 I(X)………………………………路面上某点的光照强度 Ii………………………………路灯光照强度 四、问题分析 问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。问题二由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X求偏导，再对h2求偏导，最后用MATLAB软件编程求解。问题三因为h1和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，h1，h2求偏导。 五、模型的建立 由题意可得下图 假定路灯光照强度系数k=1。 问题一：由题意得， 设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为 Q点的照度： 要求最暗点和最亮点，即求函数I(x)的最大值和最小值，则可先求出函数的极值点 利用MATLAB求得时x的值 代码： s=solve((-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))); s1=vpa(s,8); s1 运行结果： s1 = 19 9.338299136 8.538304309-11i .2848997038e-1 8.538304309+11i 00000 综上所述，x=9.33m时，为最暗点； x=19.97m时，为最亮点。 问题二：3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数： 与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点 利用matlab求x： solve(3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0) ans = 20+2^(1/2)*h 20-2^(1/2)*h 即x1=20+2^(1/2)*h （舍去） x2=20-2^(1/2)*h 利用matlab求解h2 solve(-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0) ans =