2013高中数学 -3 第1课时距离和高度问题同步导学案 北师大版必修5.doc

§3　解三角形的实际应用举例 第1课时　距离和高度问题 知能目标解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离. 2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力. 重点难点点拨 　　重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法. 　难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题. 学习方法指导 1.解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题要注意两点： （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系. (2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求. 2.常见应用题型 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 3.解三角形应用题常见的几种情况 （1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法. （2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决. 知能自主梳理 实际问题中的名词、术语 1.方位角：从指北方向　　　　　　　　　时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示. 2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角. ①北偏东α°，即由指北方向　　　　　　　旋转α°到达目标方向，如图（2）. ②北偏西α°，即是由指北方向　　　　　　　　旋转α°到达目标方向. 3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越　　　　　　　　，测量的精确度越高. 4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用　　　　　　　　和　　　　　　　　，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线 　　　　　　　　时，称为仰角，在水平线　　　　　　　　时，称为俯角，如图. ［答案］　1.顺 2.顺时针　逆时针 3.长 4.正弦定理　余弦定理 5.上方　下方 思路方法技巧 命题方向　测量高度问题 ［例1］　如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是∠AMB= 30°，∠ANB=45°∠APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高. ［分析］　解题的关键是读懂立体图形. ［解析］　设AB高为x. ∵AB垂直于地面， ∴△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形， ∴BM=x·cot30°＝x,BN=x·cot45°＝x, BP=x·cot60°=x. 在△MNB中,由余弦定理，得 BM2=MN2+BN2-2MN·BN·cos∠MNB, 在△PNB中，由余弦定理，得 BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cos∠PNB, 又∵∠BNM与∠PNB互补，MN=NP=500， ∴3x2=250000+x2-2×500x·cos∠MNB，　　　　　　　　　① x2=250000+x2-2×500x·cos∠PNB，　　　　　　　　　　② ①+②，得x2=500000+2x2, ∴x=250. 答：塔高250m. ［说明］　在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是： ①根据已知条件画出示意图； ②分析与问题有关的三角形； ③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解； ④把解出答案还原到实际问题中. 还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想. 变式应用1 如图，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB=20m，求山高DC（精确到0.1m）. 　　［分析］　如图，DC在Rt△BCD中，∠DBC=60°，只需求出边BC的长，即可求出DC，而BC又在斜三角形ABC中，依据条件由正弦定理可求出BC. ［解析］　由已知条件，得∠DBC=60°,∠ECA=45°,则在△ABC中，∠ABC=90°- 60°=30°,∠ACB=60°-45°=15°, ∠CAB=180°-（∠ABC+∠ACB）=135°. 在△ABC中，. ∴BC=. 在Rt△CDB中，CD=BC·sin∠CBD=20(+1)×≈47.3. 答：山高约为47.3