2013高中数学解思路大全：空间向量与立体几何解答题精选.doc

（数学选修2-1）第三章 空间向量与立体几何解答题精选 1 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点 （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角； （Ⅲ）求面与面所成二面角的大小 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 （Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面⊥面 （Ⅱ）解：因 （Ⅲ）解：在上取一点，则存在使 要使 为 所求二面角的平面角 2 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形, 平面底面 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小 证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 （Ⅰ）证明：不防设作， 则， ， 由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 ∴平面 （Ⅱ）解：设为中点，则， 由 因此，是所求二面角的平面角， 解得所求二面角的大小为 3 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 侧棱底面，，，， 为的中点 （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面内找一点，使面， 并求出点到和的距离 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则的坐标为、 、、、 、， 从而 设的夹角为，则 与所成角的余弦值为 （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则 ，由面可得， ∴ 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为 4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求点到平面的距离 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设 ∵为平行四边形， （II）设为平面的法向量， 的夹角为，则 ∴到平面的距离为 ，中，，点在棱上移动 （1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为 解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 （1） （2）因为为的中点，则，从而， ，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为 （3）设平面的法向量，∴ 由 令， ∴ 依题意 ∴（不合，舍去）， ∴时，二面角的大小为 6 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求： （Ⅰ）异面直线与的距离； （Ⅱ）二面角的平面角的正切值 解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系 由于， 在三棱柱中有 , 设 又侧面，故 因此是异面直线的公垂线， 则，故异面直线的距离为 （II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角 7 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上 一点， 已知 求（Ⅰ）异面直线与的距离； （Ⅱ）二面角的大小 解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为 轴建立空间直角坐标系 由已知可得 设 由， 即 由， 又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线 ,的距离为 （Ⅱ）作，可设 由得 即作于，设， 则 由， 又由在上得 因故的平面角的大小为向量的夹角 故 即二面角的大小为 高考学习网－中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！