2013高中数学高题详细分类考点25 数列求和及综合应用.doc

考点25 数列求和及综合应用△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCnSn，nb1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}{S2n}为递增数列 【解析】选B.因为，，，所以， ，注意到，所以. 于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值. 因为， 所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列. 二、填空题 2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列的前项和，则的通项公式是_________ 【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an. 【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式 【答案】 3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设为数列的前n项和，则 （1）_____； （2）___________. 【解题指南】（1） 令，代入 即可得到答案. （2）通过整理可发现当当为偶数时有，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为，所以， ①， ，即 ②， 把②代入①得. （2）因为当时，，整理得，所以，当为偶数时，， 当为奇数时，，所以， 所以，所以当为偶数时，， 所以 . 【答案】（1） （2） 4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、成等比数列，则 【解题指南】先根据、、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出. 【解析】因为、、成等1比数列, 所以,化简得 因为,所以,故 【答案】 三、解答题 5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数 （I）若； （II）设数列 【解析】（I）， 令，即，解得或 若，则时， ，所以. 若，则时，，，所以. 综上的最小值为. （II）令，由（I）知，时，. 即. 取，则. 于是. 所以 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an. (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an. (2)由d0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2, d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6. (2)设数列{an}前n项和为Sn, 因为d0,所以d=-1,an=-n+11,则 n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110. 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= 7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列满足：，，． （Ⅰ）求的通项公式及前项和； （Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解. 【解析】（Ⅰ）由题设知是首项为公比为的等比数列,所以, （Ⅱ）所以公差， 故. 8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*. (1)若a1=-c-2,求a2及a3. (2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)= 当an≥-c时,an+1-an=c+8c. 当-c-4≤an-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当an-c-4时,an+1-an=-2an-c-8-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)由(2),结合c0,得an+1an,即{an}为无穷递增数列, 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当nM时,an-c, 从而an+1=f(an)=an+c+8, 由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8. ①若a1-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8, 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即