长沙理工大学常微分方程题库程序.doc

~~01|02|1|8|A1000011_030_1|247 ^^ ^^解： 是原方程的解。 ~~02|02|1|10|A1000011_030_2|248 ^^,并求满足初始条件：的特解. ^^解：对原式进行变量分离得 两边同时积分得：，即 (这里) 把代入得 故满足初如始条件的特解 ~~02|02|1|9|A1000011_030_3|249 ^^并求满足初始条件：的特解. ^^解：对原式进行变量分离得： 两边同时积分得：即 当时显然也是原方程的解。 当时，代入上式得 故特解是 ~~03|02|1|7|A1000011_030_4|250 ^^证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 ^^证明：设为所求曲线上的任意一点，则 则：即为所求。 ~~03|02|1|8|A1000011_030_5|251 ^^设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子. ^^证:必要性 若该方程为线性方程,则有 , 此方程有积分因子只与有关 . 充分性 若该方程有只与有关的积分因子 . 则为恰当方程 , 从而, . 其中 .于是方程可化为 即方程为一阶线性方程. ~~02|06|1|8|A1000011_030_6|252 ^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 ^^解: 由 得奇点(0,0),(1,2),(2,1) 对于奇点(0,0)可知不稳定 对于奇点(1,2)可知不稳定 对于奇点(2,1)可知渐进稳定 ~~02|06|1|7|A1000011_030_7|253 ^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 ^^解:由得奇点(0,0),(-1/,0) 对于奇点(0,0) 驻定解不稳定 对于奇点(-1/ ,0) 得驻定解不稳定 ~~01|03|1|8|A1000011_030_8|254 ^^ ^^解：这是克莱洛方程，因此它的通解为， 从 中消去c, 得到奇解. ~~02|03|1|6|A1000011_030_9|255 ^^求曲线族的包络 ^^解：对c求导，得， 代入原方程得，即， 经检验得是原方程的包络. ~~02|03|1|7|A1000011_030_10|256 ^^求曲线族的包络 ^^解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 代入原方程得. 经检验,得是原方程的包络. ~~03|03|1|10|A1000011_030_11|257 ^^试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. ^^证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法， 从 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程 中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. ~~01|04|1|7|A1000011_030_12|258 ^^ ^^解：特征方程 故通解为 ~~01|04|1|7|A1000011_030_13|259 ^^ ^^解：特征方程 有三重根 故通解为 ~~03|04|1|9|A1000011_030_14|260 ^^设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。 ^^证明：假设在，在区间上线形相关 则存在不全为零的常数，使得 那么不妨设不为零，则有 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关 ~~02|04|1|10|A1000011_030_15|261 ^^以知方程的基本解组为，求此方程适合初始条件 的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。 ^^解：时间方程的基本解组，故存在常数使得： 于是： 令t=0,则有方程适合初始条件，于是有： 解得： 故 又该方程适合初始条件，于是： 解得： 故 显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为： ， 而此方程同时满足初始条件，于是： 解得： 故满足要求的解。 ~~03|05|1|9|A1000011_030_16|262 ^^试验证 是方程组，在任何不包含原点的区间上的基解矩阵。 ^^解：令的第一列为,这时 (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示第二列，我们有 (t)这样 (t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det故是基解矩阵。 ~~02|05|1|10|A1000011_030_17|263 ^^试求，其中 满足初始条件 的解。 ^^解：知的基解矩阵 则 若方程满足初始条件 则有 若 则有 ~~01|05|1|9|A1000011_030_18|264 ^^