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~~01|02|1|8|A1000011_030_1|247
^^
^^解:
是原方程的解。
~~02|02|1|10|A1000011_030_2|248
^^,并求满足初始条件:的特解.
^^解:对原式进行变量分离得
两边同时积分得:,即 (这里)
把代入得
故满足初如始条件的特解
~~02|02|1|9|A1000011_030_3|249
^^并求满足初始条件:的特解.
^^解:对原式进行变量分离得:
两边同时积分得:即
当时显然也是原方程的解。
当时,代入上式得
故特解是
~~03|02|1|7|A1000011_030_4|250
^^证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
^^证明:设为所求曲线上的任意一点,则
则:即为所求。
~~03|02|1|8|A1000011_030_5|251
^^设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.
^^证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,
此方程有积分因子只与有关 .
充分性 若该方程有只与有关的积分因子 .
则为恰当方程 ,
从而,
.
其中 .于是方程可化为
即方程为一阶线性方程.
~~02|06|1|8|A1000011_030_6|252
^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态
^^解: 由 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)
对于奇点(0,0)可知不稳定
对于奇点(1,2)可知不稳定
对于奇点(2,1)可知渐进稳定
~~02|06|1|7|A1000011_030_7|253
^^试求方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态
^^解:由得奇点(0,0),(-1/,0)
对于奇点(0,0) 驻定解不稳定
对于奇点(-1/ ,0) 得驻定解不稳定
~~01|03|1|8|A1000011_030_8|254
^^
^^解:这是克莱洛方程,因此它的通解为,
从 中消去c,
得到奇解.
~~02|03|1|6|A1000011_030_9|255
^^求曲线族的包络
^^解:对c求导,得,
代入原方程得,即,
经检验得是原方程的包络.
~~02|03|1|7|A1000011_030_10|256
^^求曲线族的包络
^^解:对c求导,得 –2(x-c)-2(y-c)=0,
代入原方程得.
经检验,得是原方程的包络.
~~03|03|1|10|A1000011_030_11|257
^^试证:就克莱洛方程来说,p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络,从而为方程的奇解.
^^证:克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法,
从 中消去p后而得的曲线;
c-判别曲线就是用c-消去法,从通解及它对求导的所得的方程
中消去c而得的曲线,
显然它们的结果是一致的,是一单因式,
因此p-判别曲线是通解的包络,也是方程的通解.
~~01|04|1|7|A1000011_030_12|258
^^
^^解:特征方程
故通解为
~~01|04|1|7|A1000011_030_13|259
^^
^^解:特征方程
有三重根
故通解为
~~03|04|1|9|A1000011_030_14|260
^^设和是区间上的连续函数,证明:如果在区间上有常数或常数,则和在区间上线形无关。
^^证明:假设在,在区间上线形相关
则存在不全为零的常数,使得
那么不妨设不为零,则有
显然为常数,与题矛盾,即假设不成立,在区间上线形无关
~~02|04|1|10|A1000011_030_15|261
^^以知方程的基本解组为,求此方程适合初始条件
的基本解组(称为标准基本解组,即有)并求出方程的适合初始条件的解。
^^解:时间方程的基本解组,故存在常数使得:
于是:
令t=0,则有方程适合初始条件,于是有:
解得: 故
又该方程适合初始条件,于是:
解得: 故
显然,线形无关,所以此方程适合初始条件的基本解组为:
,
而此方程同时满足初始条件,于是:
解得:
故满足要求的解。
~~03|05|1|9|A1000011_030_16|262
^^试验证
是方程组,在任何不包含原点的区间上的基解矩阵。
^^解:令的第一列为,这时 (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示第二列,我们有 (t)这样 (t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det故是基解矩阵。
~~02|05|1|10|A1000011_030_17|263
^^试求,其中
满足初始条件
的解。
^^解:知的基解矩阵
则
若方程满足初始条件
则有
若
则有
~~01|05|1|9|A1000011_030_18|264
^^
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