02-12函数应用问题.docVIP

02-12 函数的应用问题 点一点——明确目标 1.利用函数模型解决生活中的实际问题的基本步骤; 2.函数实际应用的常见类型、方法. 做一做——热身适应 1.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 . 解析：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×=2x（6－x），∴当x=3时，y最大. 答案：3 2.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为______________. 答案：y=0.9576 3.建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m时总造价最低是___________元. 解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·＝12（x＋）（m2），池底面积为x·＝（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为y＝12a（x＋）＋a. 定义域为（0，＋∞）. x＋≥2＝（当且仅当x=即x=时取“=”）. ∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160a＋a）元. 答案：y=12a（x+）+a, （0，+∞）, , 160a+a. 4.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价 A.10% B.9% C.11% D.11% 解析：设提价x%，则a（1－10%）（1+x%）=a，∴x=11. 答案：D 5.今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 A.v=log2t B.v=logt C.v= D.v=2t－2 解析：特值检验，如：当t=4时，v==7.5. 答案：C 理一理——疑难要点 解函数应用问题的基本步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果. 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答. 用数学模型方法解决问题的步骤也可用框图表示如下： 拨一拨——思路方法 【例1】 （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式. （2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式. 解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则y＝a（1＋p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）. （2）设成本经过x年降低到y元，则y＝a（1－p%）x（x∈Ｎ*且x≤m）. 特别提示 增长率问题是一重要的模型. 【例2】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表： 级 数 全月纳税所得额 税 率 1 不超过500元部分 5% 2 超过500元至2000元部分 10% 3 超过2000元至5000元部分 15% … … … 9 超过100000元部分 45% （1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1~3级纳税额f（x）的计算公式； （2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元； （3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 A.800~900元 B.900~1200元 C.1200~1500元 D.1500~2800元 （1）解：依税率表，有 第一段：x·5%，0＜x≤500， 第二段：（x－500）×10%+500×5%，500＜x≤2000， 第三段：（x－2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000＜x≤5000， 即f（x）= （2）解：这个人10月