《实变函数与泛函基础》试卷及答案概述.doc

试卷一： 得 分 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）; （B）; （C）; （D）; 2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若, 则 (B) 是可测函数 （C）,则可测 5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 （C）在上L可积 (D) 得 分 二. 填空题(3分×5=15分) 1、_________ 2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. 3、设是中点集，如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的 4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________________________,则称为 上的有界变差函数。 得 分 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分) 1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。 2、若，则一定是可数集. 3、若是可测函数，则必是可测函数。 4．设在可测集上可积分，若，则 得 分 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求 得 分 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为. 2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。 3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 4、（6分）设在上可积，，则. 得 分 阅卷人 复查人 5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) 试卷一 答案： 试卷一 （参考答案及评分标准） 一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1． 2、； ； 3、 4、充要 5、成一有界数集。 三、1．错误……………………………………………………2分 例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密 ………………………..5分 2．错误…………………………………………………………2分 例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分 例如：设是上的不可测集， 则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..5分 4．错误…………………………………………………………2分 …5分 四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分 因为是有界可测函数，在上是可积的…6分 因为与相等，进一步，…8分 2．解：设，则易知当时， …………………………..2分 又因，()，所以当时， ………………4分 从而使得…………………………………6分 但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有 …………………………………8分 五、1．设 …………………………2分 ……………………………….3分 …………..5分 ………………………………………………6分 2．……….2分 ………………………………………….3分 …………………………………………………………5分 …………………………………………………….6分 对，，使对任意互不相交的有限个 当时，有………………2分 将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………………………….5分 所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分 4、在上可积……2分 据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分 对上述，从而，即…………………6分 5．存在闭集在连续………………………………