第2章 一维随机变量第一次 概率论课件.ppt

二项概率公式 设在一次试验中，事件Ａ出现的概率为p (0p1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现次数X的分布律为 二项分布 随机变量X所服从的分布称为二项分布， 以X～B(n，p) 表示。 若X～B(n，p) ，则有下式成立： 1) 2) 3) 定理1 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率. 有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验 记X为共抽到的次品数，则 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, 例 解: 例 一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。 解: X～B（10, 0.9） (1) P(X=8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) 例 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 解: 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机变量X～B（n，0.96） 由题意有P（X≥1）=1-(1-0.96)n 0.999 故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取n=3，即需要发射3枚导弹。 定理2 设X~B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p] 则k=k0时，b(k;n,p)的值最大。 若 (n+1)p为整数，则b(k0;n,p)= b(k0－1;n,p) 证明： 例 鱼塘中鱼的条数。先从塘中网起100条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中网起80条，发现其中有记号者为2条，求鱼的总数N。 解: 设有记号的鱼的条数为X，则X服从二项分布B(80，100/N)。 由定理，捞起的鱼最有可能是Int((n+1)p)条， 因此(80+1)×100/N=2 由此解得 N=4050（条） 若离散型随机变量X的分布律为 其中λ0是常数，则称X服从泊松分布,记为X～P(λ) ，λ称为参数。 泊松分布 即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。 在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数； 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数； 落在显微镜片上的某种细菌个数 在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分布。例如: 由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布 设随机变量Xn服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, …)，其中概率pn与ｎ有关，并且满足 泊松定理 证明 ： 其中ｋ为一个定数 对任意固定的非负整数ｋ，有 故得 在应用中，当ｎ很大（n≥10 ），ｐ很小(≤0.1) ，我们有下面的泊松近似公式 其中λ=np 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从 的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3 次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率 例 解: 若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 例 设有同类设备８０台，各台工作相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求 （１）一个人负责维修２０台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率； （２）由三个人共同负责维修８０台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。 解： (1)设X表示同一时刻发生故障的设备台数。 在同一时刻至少有２台设备发生故障，便不能及时处理。 若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，则有 （2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则 Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 计算结果表明，由三人共同负责维修８０台，每人平均约维修２７台，比一个单独维修２０台更好，既节约了人力又提高了工作效率。 几何分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，若以X记首次出现“成功”的试验次数。则X所服从的分布便是几何分布(无记忆性)。 显然 例 一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用，问此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少？ 解: A={试开门成功} 一维随机变量及其概率分布 第二章 随机变量的概念与分布函数 一维连续型随机变量 一维离散型随机变量 一维随机变量函数的分布