第3章 随机向量补充题目 概率论课件.ppt

即两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数 无关 可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布 例 解 由此可知 由此可知 例 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于X，Y的边缘分布密度函数 解 关于X的分布密度函数为 所以， 同理可得 不同的联合分布，可 有相同的边缘分布。 可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布 * * * * * * * * * * * * * * * 大家也可以自己去找离散型的例子 * * 例１ 袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取到的可能性相等，定义下列随机变量。 求(ξ,η)的分布律。 解: (ξ,η)的分布律为 1 0 1 0 例 在例１中，如果每次取出后不放回，求(ξ,η)的分布律。 解: (ξ,η)的分布律为 1 0 1 0 例 在整数1~5中任取一数ξ， (1)取ξ后放回去再取另一数η。 (2)取ξ后不放回去再取另一数η。 在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。 解: 例 设（X, Y) 的联合分布密度为 （1）求k值 （2）求关于X和Y的边缘密度 （3）求概率P(X+Y1) 和 P(X1/2) (2) 均匀分布 解 (1) 由 得 当 时 -1 1 当 时 所以，关于X的边缘 分布密度函数为 -1 1 续解 ……….. -1 1 解 当 时 当 时 所以，关于Y的边缘 分布密度函数为 解 （3） 例：设（X, Y）的联合密度为 判断X，Y是否独立。 1 1 3 解： 已求得边缘密度为 从而： F(x,y)= FX(x) FY(y) 故X,Y相互独立 例 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。 解 ：（X,Y）的密度函数为 当 时， 所以，关于X的边缘分布密度为 关于X的边缘分布密度为 当 或 时 当 时， 所以，关于Y的边缘分布密度为 关于Y的边缘分布密度为 当 或 时 所以 所以，X与Y不独立。 例 设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为 F(x,y)=(A+Barctanx)(C+arctany) （１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ； （２）求(ξ,η)的分布密度； （３）D={(x,y):x-y0,x≤1} ，求 P{(ξ,η)∈D}。 解: （１）由二维分布函数性质，得 由以上三式可得到 （２） (ξ,η)的分布密度 （３） 定义：若fX(x)0,则在{X=x}发生的条件下Y的条件密度函数定义为 定义：若fY(y)0,则在{Y=y}发生的条件下X的条件密度函数定义为 例：设（X, Y）的联合密度为 求： 1 1 3 解：先求 第一步，求y的边缘密度函数， 第二步，再求条件密度函数， 对于 有： 故条件密度函数为 第一步，求x的边缘密度函数， 第二步，再求条件密度函数， 对于 有： 再求 故条件密度函数为 例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布 分别积分，可得两个边缘密度函数为： 即其联合密度函数为： 例 (X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ ＝0。 证 因为， 充分性 若ρ ＝0 ，则对任意实数x，y有 即X,Y相互独立。 必要性 若X,Y相互独立，则对任意实数x，y有 取x=μ1，y=μ2时上式也成立，此时上式化为 * * * * * * * * * * * * * * * 大家也可以自己去找离散型的例子 * *