第3章 随机向量及其分布2 概率论课件.ppt

例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布 分别积分，可得两个边缘密度函数为： 即其联合密度函数为： 即两个边缘分布分别服从正态分布 与相关系数 无关 可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布 例 设（X，Y）的联合分布密度函数为 求关于X，Y的边缘分布密度函数 解 关于X的分布密度函数为 所以， 同理可得 不同的联合分布，可 有相同的边缘分布。 可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布 * * * * * * * 想法类似于离散型的随机变量 * * 相除表示条件概率与条件选取无关 * * * * * * * * * * * 大家也可以自己去找离散型的例子 * * 二维连续型随机变量 例如，向一个靶面射击，考虑命中点的坐(X,Y)，就是一个二维的连续型随机变量。 类似于一维随机变量，较为便捷的办法应当是引入密度函数来研究其分布情况。 但是此时有X,Y两个随机变量，故其密度函数应该是某种“联合”的形式 可以根据定义直接求其联合分布函数，但是往往非常复杂。 若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x和y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式 则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数. 二维连续型随机变量的联合概率密度 定义 联合概率密度函数的性质 非负性 几何解释 . . 随机事件的概率=曲顶柱体的体积 二维均匀分布 设二维随机变量 的概率密度为 在 上服从均匀分布. ，则称 是平面上的有界区域，其面积为 其中 例：在某一分钟内的任何时刻,信号进入收音机是等可能的.若收到的两个独立的信号的时间间隔小于0.5秒,则信号将相互干扰. 试求一分钟内两信号相互干扰的概率. 解：设两信号进入收音机的时刻分别为X和Y,则由题设有(X,Y)服从均匀分布,即X和Y的联合分布密度为： 由题意，所求概率为： 二维正态分布 设二维随机变量 的概率密度为 其中 均为参数 则称 服从参数为 的二维正态分布 二维连续型随机变量的边缘密度 　关于X的边缘概率密度为 　关于Y的边缘概率密度为 设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况，如何处理？ 二维连续型随机变量的边缘分布 的边缘分布函数为 关于 的边缘分布函数为 关于 二维连续型随机变量的相互独立 ★ 定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 对任意x,y都成立 对于连续型随机变量，该定义等价于 在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. ? 在X与Y是相互独立的前提下， 边缘分布可确定联合分布！ 实际意义 补充说明 例 设（X, Y）的联合密度为 求k值和两个边缘分布密度函数 解 由 得 当 时 关于X的边缘分布密度为 1 1 3 所以，关于X的边缘分布密度为 当 时 1 1 3 所以，关于Y的边缘分布密度为 当 时 当 时 关于Y的边缘分布密度为 例 已知二维随机向量（X，Y）的密度为 试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D={(x，y)|x2≤y≤x，0≤x≤1｝的概率、边缘分布密度函数及独立性。 边缘分布密度和概率的计算 解: (1)由概率密度性质，知 y=x 1 1 y=x2 连续型随机变量的条件分布 类似地，Y的条件分布函数及条件密度函数为 综上所述 例 设(X,Y)的密度函数为 解 例 设（X, Y) 的联合分布密度为 （1）求k值 （2）求关于X和Y的边缘密度 （3）求概率P(X+Y1) 和 P(X1/2) (2) 均匀分布 解 (1) 由 得 当 时 -1 1 当 时 所以，关于X的边缘 分布密度函数为 -1 1 续解 ……….. -1 1 解 当 时 当