第4章 随机变量的数字特征 概率论课件.ppt

* 4.2.3 条件数学期望 离散型随机变量的条件数学期望 连续型随机变量的条件数学期望 条件期望的性质 (1) (2) (3) 特别地 (4) 例 (随机个随机变量的和) 解： 例: 解: 补充： 已知ξ1 ,ξ2相互独立，均服从正态分布N(0,σ2),η1＝aξ1＋bξ2，η2＝aξ1－bξ2，其中a，b是常数。 （1）求η1，η2的相关系数; （2）问η1，η2是否相关，是否独立; （3）当η1，η2独立时，求(η1，η2)的联合密度函数。 例 解： （2）因为η1，η2都是正态分布随机变量，所以不相关与独立是等价的。 故 当|a|=|b|时，r=0，η1,η2相互独立， 当|a|≠|b|时，r≠0，η1,η2是不独立的。 (3)当η1，η2相互独立时，即a 2 =b 2 时，η 1 ～N（0，2a2σ2 ），即 例 在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位:一般的、好的、极好的。其工资分别为2.5万元、3万元、4万元。估计能得到这些职位的概率分别为0.4，0.3，0.2，有0.1的概率将得不到任何职位，由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢? 求职面试问题 解： 极端的情况当然容易处理，假设有一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再去下一家公司面试了。 若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试的。对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，有效的办法是:采取使期望收益最大的行动。 结 果 概率 一般：2.5万元 0.4 好的：3万元 0.3 极好：4万元 0.2 没有工作：0万元 0.1 将求职者的数据列成下表: 设去第i个公司应聘的收益为ξi，(i=1,2,3）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。 首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为 E(ξ3)=2.5×0.4+3×0.3+4×0.2+0×0.1=2.7(万元) 知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。 若提供极好的职位，肯定接受。 若没有职位肯定去进行第三次面试。 若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望值2.5万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期望值2.7万元）这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。 若提供一个好职位，那么其期望值较高（3万元），故应接受这一工作且放弃第三次面试。 现在考虑第二次面试： 综上所述，第二次面试的决策应是:接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位。 第二次面试的期望值可用下列数据求出: 第二次面试结果 工作期望值 概率 一般：进行第3次面试 2.7万元 0.4 好的：接受 3万元 0.3 极好：接受 4万元 0.2 没有工作：进行第3次面试 2.7万元 0.1 E(ξ2)=0.4×E(ξ2|2.5)+0.3×3+0.2×4+ 0.1×E(ξ2|0) =0.4×2.7+0.3×3+0.2×4+0.1×2.7 =3.05（万元） 现在考虑第一次面试： 如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为2.5万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资为3.05万元），后者期望值较高。故应采取拒绝一般的工作， 对于好的职位，因其期望工资3万元低于下一次面试的期望工资3.05万元。故也应放弃好的职位。 因此，第一次面试时应采取的行动是:只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。 由此得到： 这个面试问题的总的应对策略是:第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试;第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试;第三次面试则接受能提供的任何职位。 第一次面试结果 工作期望值 概率 一般：进行第二次面试 3.05万元 0.4 好的：进行第二次面试 3.05万元 0.3 极好：接受 4万元 0.2 没有工作：进行第二次面试 3.05万元 0.1 与这个策略相应的期望