第5章 大数定律和中心极限定理 概率论课件.ppt

P98 5.1, P99 5.3、5.4、 5.8、5.9 作 业 有关大数定律习题选讲 注：本题参考答案有误 中心极限定理的应用例题补充 一、给定 n 和 x，求概率 补充例 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解：用 由此得： Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 二、给定 n 和概率，求 x 补充例 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足? 解： 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从 用Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 中解得 三、给定 x 和概率，求 n 补充例 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解： 用Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 解得 Xn 服从 B(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意有 又由 可解得 n = 271 补充例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ B(500, 0.01) ＝0.17635 (2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 X 5.5) = 0.1742 * * * * * * * * * * * * * * * * * 第五章 大数定律与中心极限定理 * 第*页 理学院数学系 概率论与数理统计 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 §5.1 大数定律 弱大数定律： 切比雪夫弱大数定律 辛钦弱大数定律 强大数定律： 科尔莫哥洛夫强大数定律 博雷尔强大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值” 的确切含义： 伯努利大数定律和博雷尔强大数定律 伯努利大数定律 弱大数定律： 切比雪夫弱大数定律 辛钦弱大数定律 强大数定律： 科尔莫哥洛夫强大数定律 博雷尔强大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值” 的确切含义： 伯努利大数定律和博雷尔强大数定律 伯努利大数定律 从抛硬币说起 回顾第一章概率的统计定义，我们是用事件的频率近似代替这个事件的概率。 德.摩 根 试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的频率 2048 1061 0.518 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维 尼 0.4998 14994 30000 出现正面的次数m 抛硬币试验的数学意义 伯努利大数定律：频率“收敛于”概率 对一般的伯努利试验（p不一定是二分之一）有： 设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 ? 0，有 注：这种极限收敛形式在概率论中，我们称为依概率收敛， 极限符号在概率符号之前。 伯努利大数定律可以说是最早发现，也是最基本的大数定律， 以它为基础人们又发展起来其它的大数定律。 大家很容易理解抛硬币出现正面的概率是二分之一，但是日常 生活中，很多问题里事件的概率不能直观感受到或者预先知道， 这时我们就利用伯努利大数定律，以频率来代替概率。 发芽率 发芽粒数 种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 除了伯努利试验，对一般的事件有没有类似的大数定律？ 某学校有10000个学生，平均身高为a； 1、随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 2、随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10