第6章 数理统计的基本概念 概率论课件.ppt

* * * * * * * * 利用公式： ? 2分布的可加性 若 且X1, X2相互 独立，则 若 则当 n 趋于无穷时，近似的有 证明：由中心极限定理 这里 可得 性质 设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体X～N(? ,? 2) 的样本，则 证明 由已知，有 且各 相互独立， 故 定理 设(X1,X2,…,Xn)为来自正态总体 X～N(? , ? 2) 的样本，则样本均值 与样本方差 Sn2 相互独立； (1) (2) 比较 设(X1,X2,…,Xn)为取自正态总体 X～N(? , ? 2)的样本，则 只证明（1）： 为X1,X2,…,Xn的线性组合，故仍然 服从正态分布，而 故 (2)式的自由度为什么是 n-1？ 从表面上看， 是n个正态随机变量 的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系： 这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(2)式的自由度是n-1. 定理（抽样分布基本定理） 设(X1,X2,…,Xn)为来自 正态总体 X～N(0 , 1)的样本，则样本均值 与样本 方差 Sn2 相互独立； (1) (2) t分布 定义： 设随机变量 X～N(0,1)，Y～? 2(n) ，且X与Y相互独立，则称统计量 服从自由度为 n 的 t 分布， 记作 t 分布的概率密度函数为 T ～t(n). 其形状类似标准正态分布，关于 x=0 对称. 当 n 较大时， t分布近似于标准正态分布. 一般说来，当 n30 时，t 分布与标准正态分布N(0, 1)就非常接近. 但对较小的 n 值，t 分布与标准正态分布之间有较大差异. 且 P(|T| ≥ t0) ≥ P(|X| ≥ t0) (对于较大的t0) ，其中 X ～N(0, 1)，即在 t 分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率. 当 n 趋于无穷时， t 分布趋于标准正态分布. t 分布的数学期望与方差 设 T～t (n)，则 定理 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N(? ，? 2)的样本，则统计量 证: 故 由于 又由于 与S 2相互独立，且 由t分布定义得 定理 设(X1, X2, …, Xn1)和(Y1, Y2, …, Yn2) 分别是来自正态总体 N(?1 , ?2) 和 N(?2 , ?2) 的样本，且它们相互独立，则统计量 其中 、 分别为两总体的样本方差. 证明： 因此 由已知条件可得 故 又因为 故 因此 F分布 服从第一自由度为 n1，第二自由度为 n2 的F分布， 定义 设随机变量 X～? 2(n1)、Y～? 2(n2)，且 相互独立，则称随机变量 记作 Z～F(n1, n2). 显然，若 Z ~ F(n1, n2)，则 1/Z ~ F(n2, n1). F分布的分布密度函数： 其中 定理 为正态总体 的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量 设 为正态总体 的样本容量和样本方差； 证明 由已知条件知 且相互独立， 由F 分布的定义有 例1 设总体 X～N(0,1)， X1, X2, …, Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ 解 (1) 因为 Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n. 所以 X1 － X2 ～N(0, 2)， 故 ～t(2). 例1 设总体 X～N(0,1)， X1, X2, …, Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ 续解 (2) 因为X1～N(0,1)， 故 ～t(n-1). 例1 设总体 X～N(0,1)， X1, X2, …, Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ 续解 (3) 因为 所以 ～F(3, n-3). 例2 若 T～t(n)， 问T 2服从什么分布？ 解 因为 T～t(n)， 可以认为 其中U～N(0,1)， V～?2(n)， U2～?2(1)， ～ F(1