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MATLAB数学实验 第五章 应用微积分 第五章 应用微积分 5.1 预备知识：微积分的基本概念 5.2 数值微积分MATLAB指令 5.3 计算实验：数值微积分 5.4 建模实验：奶油蛋糕 曲线 曲面 平面曲线(x(t), y(t)), atb的长度为 空间曲线(x(t), y(t), z(t)), atb的长度为 曲面 z=z(x,y), (x,y) in G的面积为 5.2 数值微积分MATLAB指令 例如 clear;x=[1 1.1 1.2 1.3];y=x.^3; 3*x.^2 dy=diff(y)./diff(x) dy=gradient(y,x) xa=-2:0.2:2;ya=-2:0.5:2; [x,y]=meshgrid(xa,ya); z=x.*exp(-x.^2-y.^2); [px,py]=gradient(z,xa,ya); contour(x,y,z); hold on; quiver(x,y,px,py);hold off; figure; surf(x,y,z) 5.3 计算实验：数值微积分 非矩形区域重积分dblquad2.m function S=dblquad2(fun,a,b,clo,dhi,n) if nargin6,n=100;end x=linspace(a,b,n+1); S=0; for i=1:n S=S+dblquad(fun,x(i),x(i+1),feval(clo, … (x(i)+x(i+1))/2),feval(dhi,(x(i)+x(i+1))/2)); end * 1.数值差分? n维向量x=(x1, x2, ?, xn)的差分定义为 n-1维向量?x = (x2-x1, x3-x2, ?, xn- xn-1)。 diff(x) 如果x是向量，返回向量x的差分 如果x是矩阵，则按各列作差分。 diff(x, k) k阶差分，即差分k次 2.数值导数和梯度 Fx=gradient(F,x) 返回向量F表示的一元 函数沿x方向的导函数F ’(x). 其中x是与F同维数的向量. [Fx,Fy]=gradient(F,x,y) 返回矩阵F表示的二 元函数的数值梯度(F ’x,F’y),当F为m×n 矩阵时, x,y 分别为n维和m维的向量. quiver(X, Y, U, V) 在(X,Y)平面点上，画 (U,V)表示的方向箭头。 3.梯形积分法 z=trapz(x,y) 返回积分的近似值，其中x 表 示积分区间的离散化向量; y是与x同维 数的向量,表示被积函数 。 例1 解 ? clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2); ? trapz(x,y) 4.高精度数值积分 quad(Fun,a, b) 自适应步长Simpson积分法 求得Fun在区间[a, b]上的定积分z=quadl(Fun,a,b) 高精度Lobatto积分法. 格式同quad. 注：trapz, quad, quad1都不能用于求广义积分。 不是数字1！ z=quadl(@(x)exp(-x.^2),-1,1) 注意：积分中fun里用点运算!! 5.矩形区域重积分 z=dblquad(Fun,a,b,c,d) 求得二元函数 Fun(x,y) 的重积分， a, b为变量x的 下上限；c, d为变量x的下上限. z=triplequad(Fun,a,b,c,d,e,f) 求得三元函数 Fun(x,y,z)的重积分, 格式类似dblquad。 例2 计算重积分 1.数值微分 若f(x)在x=a可导, 设h0且足够小 称为向前差商 向后差商 中心差商 自动步长的中心差商程序：deriv.m function d=deriv(fname,a,h0,e) h=h0; d=(feval(fname,a+h)-feval(fname,a-h))/2/h; d0=d+2*e; while abs(d-d0)e d0=d;h0=h;h=h0/2 d=(feval(fname,a+h)-feval(fname,a-h))/2/h; end 3.非矩形区域上的重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算 A a b d(x) c(x) 其中 我们利用