第二章函数的极值问题概述.ppt

第二章 静态优化——函数的极值问题 本章主要内容: 2.1 无约束条件的函数极值问题 2.2 有约束条件的函数极值问题 2.3 小结 2.4 习题 2.1 无约束条件的函数极值问题 一元函数极值问题 二元函数极值问题 多元函数极值问题 一元函数的极值问题 一元函数 在 处取极值的必要条件为 （2-1） 当 （2-2） 为极小。 当 （2-3） 为极大。 为简单起见，今后我们将只讨论极小，式（2-1）和（2-2）一起构成 为极小值的充分条件。当 时，也可能有极小值，不过要检验高阶导数。 上述情况可用图2-1来表示。R点是局部极小点，又是总体极小点，U只是局部极小点， T 是局部极大点， S是拐点，不是极值点。 例 2-1 求使 最小的x。 解: 故解使达到极小。本例是著名的最小二乘问题。 二元函数极值问题 下面考虑二元函数 的极值问题。设 在 处取得极小值，记 ，这里 （T表示转置，X是列向量）。 在 处取得极小值的必要条件和充分条件可如下求得。将 在 周围展开为泰勒级数 （2-4） 式中 表示高阶无穷小。将（2-4）式用向量矩阵形式表示 (2-5) 式中， (2-6) 由（2-5）式可知， 取极值的必要条件为 (2-7) 进一步，若 （2-8） 则这个极值为极小值。由于 是任意的不为零的向量，要使（2-8）式成立，由矩阵理论可知，二阶导数矩阵（又称为Hessian阵） 必须是正定的。正定阵形式上可表示为 （2-9） （2-7）和（2-9）一起构成了 在 处取极小值的充分条件。 多元函数极值问题 设n个变量的多元函数为 式中 则 在 处有极小值的必要条 件为一阶导数向量等于零向量，即 进一步，若二阶导数矩阵是正定阵，即