17_4泰勒公式与极值问题概述.ppt

定理17.9 (泰勒定理) 若 在点 内任一点 内有直到 阶的连续偏导数, 则对 其中 证 类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数 (11) 式称为 的 n 阶泰勒公式, 并称上述 而首项 也可看作 的情形. 件，于是有 由假设， 上满足一元函数泰勒公式的条 应用复合求导法则, 可求得 的各阶导数如下: 　 (12) 公式 (11)． 将 (13), (14) 两式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒 时的特殊情形. 此时的 n 阶泰勒公式便可写作 则仅需 内存在 n 阶的连续偏导数即可, 将它们代入泰勒公式 (15)，即有 与§例８的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真 分近似相当于现在的一阶泰勒公式． 三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用, 这里仍以二元函数为例进行讨论. 有定义. 若 极大值点、极小值点统称极值点． 的极大 (或极小) 值点. 极大值、极小值统称极值; 极 注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点． 点, 是 g 的极大值点, 但不是 h 的极值点．这是因 同极值. 同理, 也取相同极值. 于是得到二元函数取极值的必要条件如下: 定理17.10 (极值的必要条件) 若函数 在点 值 ( 注 由定义可见, 若 在点 取极值, 则当固 存在偏导数, 且在 取得极值, 则有 的稳定点. 上述定理指出: 偏导数存在时, 极值点必是稳定点. 但要注意: 稳定点并不都是极值点．在上述例 6 中 之所以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的 惟一稳定点；而对于函数 h，原点虽为其稳定点, 但却不是它的极值点. 与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数, 但 于是有 证 由 在 的二阶泰勒公式，并注意到条件 二次型 连续函数 ( 仍为一正定二次型 ) 首先证明: 当 正定时， 在点 取得极小 值．这是因为，此时对任何 恒使 极大值． 由于 因此 在此有界 闭域上存在最小值 ，于是有 即 在点 取得极小值． 亦取 则沿着过 的任何直线 最后证明: 当 为不定矩阵时, 在点 不 极小值, 则将导致 必须是正半定的. 也就是 定的或负半定的，但这与假设相矛盾． 这表明 必须是负半定的. 同理, 倘若 取 系，定理17.11又可写成如下比较实用的形式—— 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 若 如定理17.11 所设，则有如下结论: 是否取得极值． 解 由方程组 例7 取得极小值; 取得极大值; 返回 后页 前页 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，高阶偏导数为导出泰劳公式作好了准备；泰劳公式除用于近似计算外, 又为建立极值的判别准则作好了准备. 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题 一、高阶偏导数 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 存在, 说明 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 的三阶偏导数共有八种情形: 解 由于 例1 因此有 数为 例2 注 在上面两个例子中都有 称为混合偏导数． 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 它的一阶偏导数为