17-4泰勒公式与极值问题概述.ppt

一、高阶偏导数 小结 * * * * §4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解: 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 例3： 二? 中值定理和泰勒公式 定理17.8：中值定理 Taylor公式 三、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 例1 例２ 例３ (3) (2) (1) 2、多元函数取得极值的条件 证 驻点或稳定点：凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点或稳定点. 驻点 偏导数存在的极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例3 求函数 的极值。 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点 因此，驻点 因此，驻点 注：与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 不存在。 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 对于实际问题：一般唯一的驻点就是所求的最大值或最小值点。 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值. 3、多元函数的最值 解 令 例5：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 例6：最小二乘法问题 3. 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 4.多元函数的最值 1.高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 2. 中值定理和泰勒公式