中考压轴题分类题三《抛物线中的等腰三角形》1.doc

中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型： 已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标。 分两大类进行讨论： （1）为底时（即）：点在的垂直平分线上。 利用中点公式求出的中点； 利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出的垂直平分线的斜率； 利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式； 将的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。 （2）为时，分两类讨论： ①以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。 ②以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出(或)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。 所需知识点： 两点之间距离公式： 已知两点， 则由勾股定理可得：。 圆的方程： 点在⊙M上，⊙M中的圆心M为，半径为R。 则，得到方程☆：。 ∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。 中点公式： 已知两点，则线段PQ的中点M为。 任意两点的斜率公式： 已知两点，则直线PQ的斜率： 。 典型例题： 例一（06深圳）如图9，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠为直角,且恰使△∽△. (1)(3分)求线段的长. (2)(3分)求该抛物线的函数关系式． (3)(4分)在轴上是否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 例二（09深圳）：已知，的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB与轴重合（其中），直角顶点C落在轴正半轴上（如图11）。 （1）求线段OA、OB的长和过点A、B、C的抛物线的解析式。（4分） （2）如图12,点D的坐标为（2，0），点是该抛物线上的一个动点（其中），连接DP交BC于点E。 ①当是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分） ②又连接CD、CP（如图13），是否有最大面积？若有，求出的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分） 图11 图12 图13 例三（龙岩市中考题）：如图，抛物线经过的三个顶点，已知∥轴，点在轴上，点在轴上，且 （1）求抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式； （3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。 同步训练： 1、（08年临沂市中考题）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。 （3）若点是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 2、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求直线BC的函数解析式； （3）点P是直线BC上的动点，若△POB为等腰三角形，请写出此时点P的坐标。（可直接写出结果） 3、，经过点A、的抛物线与轴的交点的纵坐标为2． 4、梅州如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L． （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E． （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（