乌鲁木齐地区高年级第二次诊断性测验数学.doc

文理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）．．．．．．∥，则与内的直线平行或异面，排除A、C；若∥，不 在平面内，则∥，故排除D．．，∴，．，解得．．．，则，，∴离心率 . 6．与坐标轴的两个交点为，，由题知为圆的直径，且，∴圆的半径是．． ．的最小正周期为，由题意知： ，解得．．应在点的上方或与其重合，故，∴或，又且，∴. 9．，，∵，∴， 解得，∴． 10．，，∴ ，，故切点在直线上，有，∴. （理科）选C.【解析】设切点，，∴，∴，．．或，即 或，所有解之和为．．．，设， .由抛物线定义及，得，∴ ，又．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）.【解析】由正弦定理得．.【解析】由正弦定理得， ．．.【解析】由题时， ，又，∴. （理科）填.【解析】∵，∴．的公差为，则．．.【解析】底面正三角形内切圆半径就是球的半径，∴球 的表面积． ．.【解析】设这个学校高一年级的学生人数为，有，解得. （理科）填.【解析】记的交点为，由于，∴ ，而当在线段（不含端点）上时，，∴考虑在线段上有， ，当且仅当时等号成立．三、解答题（共70分）．， ∴的最小正周期为；…5分在上为增函数，在上为减函数，又， ∴时，有最小值； 时，有最大值. …12分分、为锐角，∴，， ， ∴. …12分．（1）作，垂足为，连结， ，∴，∴. ∵ ，∴，∴， ∴，∴，∴； …6分 （2）的中点，连结，则⊥，又, ∴⊥平面，四棱锥的体积 ．分如图所示，建立空间直角坐标系，可取为平面的一个法向量．设平面的一个法向量为．则，，其中，， ∴∴ 不妨取，则． ． 二面角的余弦值的大小是．分 ．，9名女应征者身高的中位数为；…4分．，4名女生分别为，则从中任取2人可以表示为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件共21个．．分．，，．；；． ∴的分布列为 ．分，由椭圆的定义可知 ，∴， ，∴椭圆的方程为； …6分 （2）过点的直线或的方程可设为，由 消去得： （*） 其判别式△. ①当点、中有一点与重合，不妨设与重合，则直线与椭圆只有一个交点，∴ 由△，解得为的斜率. 由于直线、倾斜角互补，∴. ②当点、中没有点与重合，不妨设直线的方程为， 与椭圆相交于不同两点、，则由（*）式得 ，∴．与椭圆相交于不同两点、，得， 于是，， ∴．. …12分 （理科） （1）请参照文科（2）的解答； …6分 （2）当点、中有一点与重合，不妨设与重合， 由（1）知的方程为，即，此时椭圆与直线都是关于原点对称的图形，由对称性知，∴．、中没有点与重合， （当且仅当，即时取等号） 等号取得就是点、中有一点与重合的情况，∴．取最大值为，此时的方程为，由对称性知此时焦点到直线的距离为． 在上连续，且，令，得． 当时，，； 当时，，． 所以，当时，为极小值，也是最小值． 令≥，得≤时，有≥； …6分 （2）当时，，由（1）知在上至多有两个零点． 因为，，所以在上有一个零点； 又，令，因为在时成立，所以在上单调递增，，即．∴ ，所以在上也有一个零点； 故在上有两个零点． …12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （1）连结，由是半径，， 又∵，于是有∥． …5分 （2）由（1）及，，知， ∴.∵，∴，即， ，. ∴周长=. …10分 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （1）表示过点倾斜角为的直线，曲线表示以为圆心，为半径的圆．∵与相切，∴，． 于是曲线的方程为，∴，于是 故所求的直角坐标方程为； …5分 （2）∵，∴． ∴切点的极坐标为． …10分