1.5-公因数与最大公因数.docVIP

公因数与最大公因数 知识精要： 一、课前思考： 1.现在小丽家要装修新房子，小丽房间长3.6米，宽2米。要求给房间铺正方形的地砖，为了美观，请问有几种选择方法？用砖块数最少时是多少块？（提示：砖块有这9种规格供选择） 若改为剪纸游戏，将长为36cm,宽为20cm的长方形，裁成若干个正方形，要求没有制片剩余，最少可裁处多少个正方形？ 二．公因数与最大公因数的概念： 其实我们在前面的学习中已经涉及到公因数，只是没有进行归纳。 概念：几个数公有的因数，就叫做这几个数的公因数，其中最大一个称为这些数的最大公因数. 例1、下列各组数的最大公因数： ①17和51 ②23和32 ③24和60 ④13和52 ⑤4和9 通过上面的运算，我们可以发现：⑴ 像①、②和④，如果其中一个数为素数，他们的最大公因数要么是1，要么是这个素数本身，道理很好理解。也就是说只要另外一个数能整除这个素数，那么他们的最大公因数就是这个素数，不然，最大公因数就是1. ⑵ 像③和⑤这样两个数都是合数的，情况又不一样。通过列举⑤比较好列举，但是像③的话，比较复杂,用列举法比较容易遗漏。下面介绍另外两种方法： 方法一：分别把24和60分解素因数得：24= 60= 则他们的最大公因数是这些公素因数的乘积，即=12 使用这个方法时注意把相同的素因数对齐。 方法二：用短除法， 2|24 60 、、、、、、用公有的素因数2除 2|12 30 、、、、、、再用第一次商公有的素因数2除 3|6 15 、、、、、、再用上一步商公有的素因数3除 2 5 、、、、、、除到两个商的最大公因数为1为止 把所有的除数乘起来，就得到24和60的最大公因数，为=12。 互素的概念:公因数只有1的两个数叫互素。 互素的要点：1、互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，也就是说 两个数不一定都是素数； 例1、下列说法中，正确的是（ ） ①2是4和6的一个公因数； ②12是24和36的最大公因数 ③如果两个数互素，那么这两个数一定是素数；④1和任何正整数互素。 1、在以下四种情况下可以直接判断两个数互素：①两个不同的素数互素；②1和任何整数都互素；③两个相邻的数互素；④一个素数与一个合数如果没有倍数的关系，则他们互素。 例2、判断下列各组数是否互素？ 9和12；27和28；7和22；11和121；13和29 例3、1,11,14,16能组成几对互素？ 求最大公因数的方法：①分别列出两个数的因数，再从中找出公因数中最大的一个。缺点计算量大，且容易漏情况； ②分解素因数法：把两个数分解素因数，把他们相同的素因数相乘，及最大公因数； ③短除法：用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。 ④特征法：如果两个数互素，那么他们的的最大公因数为1；如果较小的数是较大数的因数，则其最大公因数是较小的数 例3、求18和42的最大公因数。 例4、求25与50的最大公因数。 精解名题 例1、用短除法求下列各数的最大公因数： (1) 12和30 (2) 24和36 (3)39和78 (4)72和84 (5)45和60 (6)45和75 例2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？ 例3、有一个长方体大块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？?? 备选例题 例1、有一个质数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个质数是几? 巩固练习： 一、选择： 1.下列各组数中，不是互素的是：（ ） A．12和25 ； B.63和30 ； C.101和100 ； D.53和61. 2.8是32和48的 （ ） A.最大公因数 ； B.最小公倍数 ； C.公因数 ； D.互素. 3.甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是 （ ） A．15 ； B.甲数 ； C.乙数 ； D.甲数乙数. 4.几个数的最大公因数是12，这些