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年中考数学压轴精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准
1.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的负半轴上,边在轴的正半轴上,且,,矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形.点的对应点为点,点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点.(1)判断点是否在轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在轴的上方是否存在点,点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍,且点在抛物线上,若存在,请求出点,点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)存在符合条件的点,点.理由如下:矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为.由题意可知为此平行四边形一边,
又边上的高为2依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得,,
,
以为顶点的四边形是平行四边形,
,,
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,;
当点的坐标为时,
点的坐标分别为,. 14分
如图14,已知半径为1的与轴交于两点,为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求切线的函数解析式;
(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似.若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.7、(12分)30.已知:如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点.
(1)写出直线的解析式.
(2)求的面积.
(3)若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动(不与重合),同时,点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动.设运动时间为秒,请写出的面积与的函数关系式,并求出点运动多少时间时,的面积最大,最大面积是多少?
(3)过点作于点
7分
8分
由直线可得:
在中,,,则
, 9分
10分
11分
此抛物线开口向下,当时,
当点运动2秒时,的面积达到最大,最大为. 12分与轴的一个交点为A -1,0 ,与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
⑶存在.……………………………6分
理由:如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±4.∴点M的坐标为.…9分
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.
∴点M的坐标为. ……………………………12分
综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.
12、(08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中,其中点为坐标原点,点的坐标为,.
(1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标.
(2)若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系,并加以说明.
(3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,
求此函数的解析式.
(3)依题意可设二次函数的解析式为 :
y α(x-0) x-3
由此得顶点坐标的横坐标为:x ;
即顶点在OA的垂直平分线上,作OA的垂直平分线EF,则得∠EFA=∠B=300
得到EF=EA= 可得一个顶点坐标为(,)
同理可得另一个顶点坐标为(,)
分别将两顶点代入y α(x-0) x-3 可解得α的值分别为,
则得到二次函数的解析式是y x x-3 或y x x-3
14、(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1,是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,,.
(1)在边上取一点,将纸片沿翻折,使点落在边上的点处,求两点的坐标;
(2)如图19-2,若上有一动点(不与重合)自点沿方向向点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为秒(),过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点.求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标.
(08甘肃兰州28题解析)(本题满分12分)
解:(1)依题意可知,折痕是四边形的对称轴,
在中,,.
..
点坐标为(2,4). 2分
在中,, 又.
. 解得:.
点坐标为 3分
(2)如图①,.
,又知,,
, 又.
而显然四边形为矩形.
5分
,又
当时,有最大值. 6分
(3)(i)若以为等腰三角形的底,则(如图①)
在中,,,为的中点,
.
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