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年中考第2轮综复习05:代数几何综合题
第二部分:综合复习
综合复习五:代数几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲: 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型,近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现,其解题关键点是借助几何直观解题,运用方程、函数的思想解题,灵活运用数形结合,由形导数,以数促形,综合运用代数和几何知识解题.
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(2005,温州,12分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,A是的中点,AE⊥AC于A,与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E,且,EM切⊙O于M。
⑴ △ADC∽△EBA;
⑵ AC2=BC·CE;
⑶如果AB=2,EM=3,求cot∠CAD的值。
⑴∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDA=∠ABE,
∵,∴∠DCA=∠BAE,
∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A作AH⊥BC于H 如图
∵A是中点,∴HC=HB=BC,
∵∠CAE=900,∴AC2=CH·CE=BC·CE
⑶∵A是中点,AB=2,∴AC=AB=2,
∵EM是⊙O的切线,∴EB·EC=EM2 ①
∵AC2=BC·CE,BC·CE=8 ②
①+②得:EC EB+BC =17,∴EC2=17
∵EC2=AC2+AE2,∴AE=
∵△CAD∽△ABE,∴∠CAD=∠AEC,
∴cot∠CAD=cot∠AEC= (1)求点 A、B的坐标和AD的长;
(2)求过B、A、C三点的抛
物线的解析式。
解:(1)在y 2x+2中
分别令x 0,y 0.
得 A(l,0),B(0,2).
易得△ACD≌△BAO,所以 AD OB 2.
(2)因为A 1,0),B(0,2),且由(1),得C(3,l).
设过过B、A、C三点的抛物线为
所以 所以
点拨:此题的关键是证明△ACD≌△BAO.
【例3】(2005,重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒. 1 求直线AB的解析式;
2 当t为何值时,APQ与AOB相似?
3 当t为何值时,APQ的面积为个平方单位?
解:设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意,得 所以,直线AB的解析式为y=-x+6.
由AO=6, BO=8 得AB=10
所以AP=t ,AQ=10-2t
1° 当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.
所以 = 解得 t= 秒
2° 当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.
所以 = 解得 t= 秒 过点Q作QE垂直AO于点E.
在Rt△AOB中,Sin∠BAO== 在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO= 10-2t ·=8 -t所以,S△APQ=AP·QE=t· 8-t =-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒).
(注:过点P作PE垂直AB于点E也可,并相应给分)【例4】(2005,南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x,四边形PBCD的面积为y.(1)写出y与x的函数关系,并确定自变量x的范围.(2)有人提出一个判断:“关于动点P,PBC面积与PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.解:(1)过动点P作PE⊥BC于点E. 在Rt⊿ABC中,AC=10, PC=AC-AP=10-x. PEBC,ABBC,PEC∽⊿ABC.故 ,即 PBC面积= 又PCD面积=PBC面积= 即 y,x的取值范围是0<x<10. (2)这个判断是正确的. 理由: 由(1)可得,PAD面积=PBC面积与PAD面积之和=24. Ⅲ、综合巩固练习:
(100分 90分钟)(280)
1、如图2-5-8所示,在直角坐标系中,△ABC各顶点坐标分别为A (0,),B(-1,0)、C(0,1)中,若△DEF各顶点坐标分别为D(,0)、E(0,1)、F(0,-1),则下列判断正确的是( ) A.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90○得到 B.△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90○得到 C.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60○得到 D.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120○得到
2.如图2-5-9,已知直线 y 2x+1与x轴交于A点,与y轴交于B点,直线y 2x—1与x轴交于C点,与y轴交于D点,试判断四边形ABCD的形状.
3.如图2-5-10所示,在矩形ABCD中,BD 20,AD>AB,设∠ABD α,已知sinα是方程25z2-35z+ 12 0的一个实根.点E、F分别是BC、DC上的点,EC+CF 8,设
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