6.5最优化问题.ppt

目的要求 掌握二元函数数值及判别法，会求无条件极值及有条件极值。 重点 求多元函数极值 难点 约束最优化问题。 并证明不等式 （其中a,b,c为任意正实数） 对L求偏导数并令他们都等于零，则有 补充: * * 复习: 复合函数微分法 z=f u v x y x y 隐函数微分法 1. F(x,y)=0 2. F(x,y,z)=0 7.5 多元函数的极值与最优化问题 一、二元函数的极值 1、极值 定义 设函数z=f(x,y)在点（x0，y0）的某个邻域 内有定义，若对该邻域内任一点（x，y）都有 f(x,y)? f(x0，y0), (或 f(x,y)? f(x0，y0)), 则称函数z= f(x,y)在点（x0，y0）有 极大(或极小)值f(x0，y0)。而称点(x0，y0)为函数z= f(x,y)的极大（或极小）值点。极大值点与极小值点统称极值点。 7.5 多元函数的极值与最优化问题 例子: 函数 z=1-x2-y2 在（0，0）有极大值z=1. 函数 z=2x2+y2 在（0，0）处有极小值z=0. 2、极值的检验法 定理（必要条件）设函数z=f(x,y)在点（x0，y0）处有极值，且在该点的偏导数存在，则必有 fx(x0，y0)=0, fy(x0，y0)=0. 使fx (x0，y0)=0, fy (x0，y0)=0的点称为驻点. 说明: 同一元函数一样，二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点。 定理（充要条件）设函数z=f(x,y)在定义域内一点（x0，y0）处有二阶连续偏微商，且 f x (x0，y0)=0, f y (x0，y0)=0. 记fxx(x0，y0)=A, fxy(x0，y0)=B, f yy(x0，y0)=C, 令 (1) 当?0,A0时，函数f(x,y)在点（x0，y0） 有极小值f (x0，y0)； 当?0,A0时，函数f(x,y)在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）； (1) 当?0,A0时，函数f(x,y)在点（x0，y0） 有极小值f (x0，y0)； 当?0,A0时，函数f(x,y)在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）； (2)当? 0时,函数f(x,y)在点（x0，y0）无极值； (3)当? =0时,函数f(x,y)可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论。 记fxx(x0，y0)=A, fxy(x0，y0)=B, f yy(x0，y0)=C, 例 求 z=3xy-x3-y3 的极值 解：因zx=3y-3x2, zy=3x-3y2, 由 zx = 0， zy=0 , ?驻点(0,0),(1,1). A= zxx = -6x ,B= zxy=3 ,C= zyy= -6y. ?=AC-B2=36xy-9 ,在(0,0)处?= -90 不是极值点. 在(1,1)处?=27 0,A=-60, ?在(1,1)处取极大值z(1,1)=1. 在D={(x, y)|x2+y2? 1, x≥0, y≥0}内的最大值。 解： 二、无约束最优化问题 例 求函数 1. 连续函数在有界闭域上的最值 在边界x2+y2=1上: f (x,y)=0. 在另两条边界x=0,或y=0上， f(x,y)=0. 例 最大利润 设某公司每天生产产品I x公斤与产品II y公斤的成本为 C(x,y)=x2+2xy+2y2+2000 产品I的价格为200元/kg，产品II的价格为300元/kg，并假定两种产品全部售完，试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平，公司获得的最大利润是多少？ 2. 实际应用问题 解 公司收益函数为R（x，y）=200x+300y 利润函数为P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)= 200x+300y-x2-2xy-2y2-200 , 求驻点，令Px=200-2x-2y=0，Py=300-2x-4y=0 ， 得x=50，y=50。 而Pxx= -2，Pxy= -2，Pyy=-4。 在（50，50）处，A=-2，B=-2，C=-4 因为 ? =AC-B2=8-4=40 可知当产品I的产量为50公斤，产品II的产量为50公斤时，公司可获得最大利润，且 P（50，50）=10500（元）。 三、约束最优化问题 1、直观描述 求函数 的最大值 求函数