材料力学——3扭转分析.ppt

四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： [例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 [?]=30M Pa, 试校核其强度。 T m 解：①求扭矩及扭矩图 ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。 D3 =135 D2=75 D1=70 A B C m m x §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 二、单位扭转角? ： 或 三、刚度条件 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 [? ]称为许用单位扭转角。 刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。 [例3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 [?]=30MPa，试设计杆的外径；若[?]=2o/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。 解：①设计杆的外径 40Nm x T 代入数值得： D ? 0.0226m。 ② 由扭转刚度条件校核刚度 40Nm x T ③右端面转角为： [例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[? ]=70M Pa，[? ]=1o/m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：①图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x –7.024 – 4.21 (kNm) 由刚度条件得： 500 400 N1 N3 N2 A C B T x –7.024 –4.21 (kNm) 综上： ②全轴选同一直径时 ③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 T x – 4.21 (kNm) 2.814 §3–6 等直圆杆的扭转超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 物理方程； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 [例5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 解：①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： ②几何方程——变形协调方程 ③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程： ④ 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。 §3–7 等直圆杆在扭转时的应变能 一、 应变能与能密度 a c d dx b ? ? dy ?′ ?′ dz z ? x y 单元体微功： 应变比能： 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 1. 应力的计算 = + t Q t T Q T 近似值： P Q T 2. 弹簧丝的强度条件: 精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响） 其中： 称为弹簧指数。 称为曲度系数。 3.位移的计算(能量法） 外力功： 变形能： [例6] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？ 解：①最大剪应力的近似值： ②最大剪应力的精确值： ③弹簧圈数： （圈） §3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。 一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。 二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。 三、矩形杆横截面上的剪应力: h 3 b h t 1 T t max 注意！ b 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） 2. 最大剪应力及单位扭转角 h 3 b h t 1 T t