概率论补充题部分选解资料.ppt

  练习16 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的. 问平均内经 取何值时，销售一个零件的平均利润 练习17 设某自动生产线加工的某种零件的内经X（单位：mm）服从 内经小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售合格品获利，生产不合格品则亏损，已知利润T（单位：元）与内经X有如下关系 最大. 解 其中 令 解得 练18 设 (X是随机变量) 证明当 时， 达到最小值. 证明 由题意 两边对x求导，有 显然，当 时， 又 当 时， 达到最小值. 最小值为 这个例子又一次说明数学期望是随机变量X 取值的集中位置，反映了X的平均值. 练19 设X1,X2, … 是相互独立同分布的随机变 量，其分布函数为 其中 则辛钦大数定理对此序列{Xk}是否适用？ 分析 辛钦大数定理成立的条件：（1）随机变量 序列独立同分布；（2）数学期望EX，n=1,2,...存在. 解 由题意，只需判断广义积分 是否收敛即可. 因为 那么 数学期望不存在，即辛钦大数定理对此 序列{Xk}不适用 练20 在每次试验中，事件A发生的概率为0.75， 请利用切比雪夫不等式计算下列问题 （1）在1000次独立试验中，事件A发生的次数在 700~800之间的概率； （2）n多大时才能保证在n次重复独立试验中事件 A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90？ 解 设X=“1000次独立试验中事件A发生的次数”，则 且有 （1） （1） （2）设X=“n次独立试验中事件A发生的次数”，则 事件A发生的频率为 那么 所以 即至少要做18750次重复独立试验， 才能保证试验中事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90. 解 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X h)≥ 0.99 下面我们来求满足上式的最小的h . 练21 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 设车门高度为h cm,按设计要求 因为 X～N(170,62), 故 P(X h)= 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的h . 所以 查表得 (2.33)=0.99010.99 因而 即 h=170+13.98 184 * * (1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (3)只有一个是次品; (4)至少有三个不是次品; (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品. 解 练习 3 设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住 试求下列事件的概率 (1) A={指定的n个间房中各有一人住} (2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} 解 因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房子住多少人），所以n 个人住的方式共有 种，它们是等可能的. (1) n个人都分到指定的n间房去住，保证每间房 中各有一人住;第一个人有 n 种分法，第二个人有 n-1 种分法，...，最后一个人只能分到剩下的一间房中 去住，共有n(n-1)...21 种分法，即A含有n!个基本事件. n个人都分到的n间房中，保证每间只有一人住， 共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中 任意选取，共有 种取法，故B包含的基本事件数为 所以 (2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} 练习4 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已 知这 12 次接待都是在周二和周四进行的. 问是否可 以推断接待时间是有规定的？ 解 假设该站接待时间没有规定，各来访者在 一周的任一天去接待站是等可能的，则12 次 接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称为实际推断原理）. 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而 推断该站接待时间是有规定的。 练习5 设某种动物由出