CH1-1多项式知识小结.ppt(高代).ppt

第一章　多项式 * 一、数环与数域 二、一元多项式环 三、整除性 四、因式分解 五、多项式的根 六、常见数域上的多项式因式分解 一、数环与数域 R是由一些复数组成的集合，且R中 任意两个数的和、差、积仍是R中的数. 1、数环： P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数． 0与1，且P中任意两个数的和、差、积、商（除 2、数域： 有理数域、实数域、复数域、 3、常见数域： （p是素数） 有理数域是最小数域，即任一数域都包含了有理数域。 二、一元多项式环 形式表达式 设 是一个符号（或称文字）， 是一非负整数 称为数域P上的一元多项式． 其中 1、一元多项式 ② ① 时，　　　 ③ 1) 为数域 P上任意两个多项式，则 仍为数域 P上的多项式． 2) 六条运算律： 2、一元多项式环P[x] 加法—交换律、结合律 加法—交换律、结合律、消去律 乘法对加法的分配律 ① ② 若 则 且 3、运算下次数的性质 对 一定存在 使 成立，其中 或 三、整除性 并且这样的 是唯一决定的． 1、带余除法 带余除法的计算格式 竖式除法 普通除法或长除法 除式 商式 被除式 余式 设 若存在 使 则称 整除 记作 2、整除 ① 时， 称 为 的因式， 为 的倍式． ② 的因子 真因子： 平凡因子： 1)判定定理 整除的判定及性质 2) 若 则 3) 若 4) 若 　 有 1）定义： i) 若 满足： ii) 若 　　　　 且 ，则 则称 为 的最大公因式． 3、最大公因式 ③ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最 大公因式是唯一的. 若 为 的最大公因式，则 ，c为非零常数． ① 一定有最大公因式，其首项系数 为1的最大公因式记作: ② ， 是 与零多项式0的最 大公因式； 两个零多项式的最大公因式为0； 若 不全为零，则 2）基本性质 如果等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． ④ ⑤ 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ⑥ 最大公因式的存在性不因数域扩大而改变. 注意：反之不真 3）最大公因式的求法─辗转相除法 其中　　　　　　则　　 就是　　　　　 的 一个最大公因式． 则称 为互素的(或互质的)． 若 ①判定 　 互素 ，使 4、互素 1）定义 2）基本性质 ② 若 ，且 ， 则 ③ 若 ，且 ，则 ④ 若 ， ，则 5、多个多项式的情形 表示首1最大公因式． ② 　　　　　　　　 ，使 ③ 　　　　　　　　　 的最大公因式一定存在． ④　　　　　　互素　　　　　　　　　　 使 6、最小公倍式 设 ，若 i) ii) 对 的任一公倍式 ，都有 则称 为 的最小公倍式． 1）定义 2) 的首项系数为1的最小公倍式记作: 3) 为首1多项式，则 1）定义： 四、因式分解 1、不可约多项式 ，且 ，若 不能表示成数域 P上两个次数比 低的多项式的 ① 多项式是否不可约与数域有关. ② 任一数域上的一次多项式是不可约的. 的不可约多项式. 乘积，即 只有平凡因子，则称 为数域P上 2）性质 ①