切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials.doc

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程 和 相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定 也可以用母函数表示 第二类切比雪夫多项式 由以下递推关系给出 此时母函数为 从三角函数定义第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定 其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于 的 n次多项式，这个事实可以这么看： 是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成 的幂 。 用显式来表示 尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有 类似，第二类切比雪夫多项式满足 以佩尔方程定义切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: 归递公式 两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替 xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x) 正交性 Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权 即: 可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 类似地，第二类切比雪夫多项式带权即: 其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布). 基本性质 对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。 时，Tn 的最高次项系数为 2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。 最小零偏差 对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中 ， 对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ ? 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为 ， 分别在 - 1 、 1 及 f 的其他 n ? 1 个极值点上达到 。 两类切比雪夫多项式间的关系 两类切比雪夫多项式间还有如下关系： 切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例. 切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出： 例子 前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?x1?, -1?y1?; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5. 前几个第一类切比雪夫多项式是 前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?x1?, -1?y1?; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n. 前几个第二类切比雪夫多项式是 按切比雪夫多项式的展开式 一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下： 多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。 切比雪夫根 两类的n次切比雪夫多项式在区间[?1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点 ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是： 类似地， Un 的n个根分别是：