拉盖尔多项式.doc

拉盖尔多项式 （0＜x＜∞＝＝） （1） 叫作拉盖尔方程． 是拉盖尔方程的正则奇点．在及其邻域上为有限的级数解是 +. （2） 级数的收敛半径为无限大． 如λ为整数，解y（x）退化为λ次多项式.用适当的常数乘这些多项式，使最高次幂项成为就叫作拉盖尔多项式，记作. 于λ=0，有 λ=1， λ=2， λ=3， λ=4， λ=5， 函数在的邻域上是解析的，可在的邻域上展为泰勒级数 （3） 现在来证明（3）式里的正是拉盖尔多项式.既然（3）式里的是Ψ（t，x）的泰勒展开的系数，那就有 . 上式利用了§2.4习题2.我们只需证明（4）式正是拉盖尔多项式就行了． 令 ， 容易验证，z满足 . 上式对x求导n+1次， 这就是说，满足 . 参照（4）式，作函数变换，得L（x）所满足的方程 ， 这正是拉盖尔方程（1）.拉盖尔方程的多项式解只能是拉盖尔多项式，最多相差某个常数因子.经具体验算，得知并不差常因子．（3）和（4）里的的确是拉盖尔多项式.函数 因而称为拉盖尔多项式的母函数.而（4）式是拉盖尔多项式的微分表示式． 拉盖尔方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型 （0＜x＜∞＝＝） （5） 作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交性关系的特例，拉盖尔多项式在区间0＜x＜∞上带权重正交， （m≠n） （6） 拉盖尔多项式的模可借助微分表示式（4）并累次分部积分而算得， = （7） 根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质④（见§9.4），在区间0＜x＜∞上，以接盖尔多项式为基本函数族，可把函数f（x）展开为 ， （8）