数值分析试题A06.12.doc

中国石油大学（北京）2006--2007学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 题号 一 二 三 四 　五 六 七 总分 得分 一、填空题(每空2分，共0分) 1) 设为真值的近似，则有 位有效数字。 (2) 设数据的绝对误差为0.000.0002，那么的绝对误差 ____ _。 (3) 设则差商。 (4) 设求积公式是Gauss型求积公式，则 。 (5) 设,则= 。 (6) 数值微分公式的截断误差为 　　　。 (7) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 　　 。 (8) 利用两点Gauss求积公式，则 　　 　　　　。 （9）解初值问题 的改进的欧拉法是 　　　阶方法。 (10) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 　 　 。 （输入A , b , 输出X） X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end 二、(15分) 已知函数值表 （1）用构造二次Newton插值多项式，计算当时的近似值； （2）用事后误差估计方法估计的误差。 三、（10分）试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精度。 四、（15分） 已知数据表如下 ， （1）构造关于点集和权的正交函数组 （2）利用拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差。 五、(15分) 线性方程组 ， （1）写出解此方程组的雅可比迭代格式迭代格式（分量迭代迭代(10分) ，由迭代公式 所产生的序列都收敛于方程的根。 （2）写出求方程根的牛顿迭代格式。 七、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中， （1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 数值分析试卷A答案 填空题(每空2分，共20分) （1） 5 （2）0.0007 （3）4 （4）1/4 （5） 2 （6） （7） （8） （9） 2 （10） 解上三角形方程组 二、 (15分) (1)建立如下差商表 （4分） 三、解：令公式对都准确成立，则有 (4分) 解之可得，故所求积分公式为 (4分) 当时，左边=，右边= 右边左边，所以原公式只具有3次代数精度。 (2分) 四、解：（1）首先构造构造关于点集和权的首一正交多项式 显然，设， 则 由 得a=0，故有 。 由 和得 ，即 因此，。(5分) （2）设，则 (5分) (5分) 五、(15分) (1) 雅可比迭代格式迭代格式迭代 高斯-赛德尔迭代 所以雅可比迭代迭代雅可比迭代迭代，所以高斯-赛德尔迭代迭代，则。 （1）时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。 (2分) （2）对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。(3分) （3）牛顿迭代公式 (5分) 七、(15分) (10分) (5分) 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效