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数的分类和概念 我们把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…} 等全体非负整数组成的数集合称为“自然数”。 把{1，2，3，…，9，10}向前扩充得到正整数{1，2，3，…，9，10，11，…}，把它反向扩充得到负整数{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1 }，介于正整数和负整数中间的“0”为中性数；把它们合在一起，得到 {…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1， 0，1，2，3，…，9，10，11，… }， 叫做整数。 对整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。整数，对加、减、乘运算组成了一个封闭的数集合，是数学古老分支“数论”研究的对象。著名的德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。 除法运算，如7/11 = 0.636363 …、11/7 = 1.5714285 …，不再是整数，也就是说整数对除法运算是不封闭的。为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的，就必须增加新的数，如 7/11、11/7，为两个整数之比，称为可比数、分数，现在通称为有理数。 ? ??把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理，形成最古老的一门数学——算术。 有理数集合，对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合，看起来似乎已很完备。2500多年前，不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。 公元前５世纪，当时的毕达哥拉斯学派很重视整数，想用它说明一切，“数是万物之本”成了他们的哲学观。毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯在研究1和2的比例中项 x 时，由1/x = x/2，得到代数方程 x2 = 2???????????????????????????????? ?????????（1） 在（1）中引入的 x，代表我们暂时还不知道一个数，称为未知数。对（1）求解，得到x = 。显然，1 x 2，不是整数；经证明，不能表成两个整数之比，也不是有理数；这就是后来称为“无理数”的数。 无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，数学史上把这件事称为“第一次数学危机”。 在 之后，又发现了很多无理数，圆周率π就是其中最重要的一个。15世纪意大利著名画家达·芬奇把它称之为“无理之数”。现在，人们把有理数和无理数合并在一起，称为“实数”。 把方程（1）中2换成-2时，得到 x2 = -2????????????????????????????????????????? （2） 由此得到两个解：x1 = 和 x2 = - ，它们还是（2）的解吗？如果认为不是，（2）就没有解，解方程如同走进了死胡同。为解决这一问题，数学家不得不再次扩大数的范围，引入符号“”表示“－1的平方根”，即 i? = ，称为虚数；再把实数a、b和虚数结合起来，组成 z = 形式的数，称为“复数”。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，让人感到有点虚无缥缈。随着科学的发展，虚数在水力学、地图学和航空学上得到了广泛的应用。这样，数的家族就进一步扩大，包括实数和复数两大类，并把加、减、乘、除的四则算术运算扩展到包括乘方和开方的六种代数运算，形成了数学中一个新的分支“代数”。 代数进一步向两个方面发展，一是研究未知数更多的一次方程组，引进矩阵、向量、空间等符号和概念，形成 “线性代数”；另一是研究未知数次数更高的高次方程，形成“多项式代数”。 这样，代数研究的对象，不仅是数，还包括矩阵、向量、向量空间及其变换等。它们都可以进行“运算”，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再有效。因此，代数学的内容可以概括称为带有运算的一些代数结构的集合，如群、环、域等，又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数等众多分支。 由于科学技术发展的需要，数的范围不断扩大，从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、张量、矩阵、群、环、域等不断的扩充与发展。为区别起见，人们把实数和复数称为“狭义数”，把向量、张量、矩阵等称为“广义数”。尽管人们对数如何分类还有一些不同的看法，但都承认数的概念还会不断扩充和发展。到目前为止，数的家族已发展得十分庞大，可表示为：