龙贝格.doc

1 教案三 龙贝格求积及高斯求积法 基本内容提要 1 龙贝格求积方法与李查逊外推法 2 待定参数法和高斯求积公式 3 高斯求积公式的余项与稳定性 教学目的和要求 1 掌握龙贝格求积方法与李查逊外推法的基本思想方法 2 掌握待定参数法确定数值求积公式的方法 3 理解构造高斯求积公式的思想，掌握利用基本的正交多项式构造高斯求积公 式的过程 4 了解高斯求积公式的余项与稳定性 教学重点 1 龙贝格求积方法 2 高斯求积公式 教学难点 1 李查逊外推法的基本思想方法 2 高斯求积公式的余项与稳定性 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程 问题引入 既然变步长求积方法的每一步都能估计出截断误差，那么将这个误差加上所 求得的结果应该是一个更好的近似积分值（叫做修正值），从而达到加快收敛的 目的，这就是龙贝格求积方法的基本思想。 §3.4 龙贝格求积方法与理查森外推法 龙贝格求积方法的算法过程如下： 2 ? ( ) 0 T h ? ( )? ( )( ( )) 1 1 1 T h S h 计算误差并修正T h ? ( )? ( )? ( )( ( )) 1 1 2 2 T h S h C h 计算误差并修正S h 3 3 3 3 3 T(h )? S(h )?C(h )? R(h )( (h )) ? M 计算误差并修正C 其中， , 1 2 ( 1,2, ). 0 = ? = = L h b a h hi? i i 例 3.4.1 利用龙贝格方法计算 dx x x ∫1 0 sin 使截断误差不超过0.5×10?3 . 从上例可以看出，龙贝格积分法的计算的结果比要求的精度高很多，且收敛 速度比变步长求积方法快。该方法本质上属于具有更广泛意义的李查逊外推法。 李查逊外推法的计算公式为： . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p h h G h F h h F h F h ? ? ? ? ? = ? ? ? 我们看到，龙贝格求积方法正是用到李查逊外推法的原理. §3.5 待定参数法与高斯求积公式 3.5.1 待定参数法 前面介绍的插值型求积公式具有形式： 0 ( ) ( ) ( ) n i i i I f Q f Af x = ≈ =Σ （3.4） 其中求积系数 i A 由计算插值奇函数l (x) i 的定积分给出，即 = ∫b i a i A l (x)dx. 因为求积公式至少具有 k 阶代数精度，等价于公式的函数1，x,L, xk 来说 均准确成立，由此就可以得到如下关于参数i A ，i = 0,1,Ln的含k +1个方程的方 程组.： 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + + + = ? + + + = ? + + + = + + + + = ? + + 1 ...................... ................................ 2 2 1 1 0 0 1 1 3 3 2 1 2 0 1 2 0 2 2 0 0 1 1 0 1 2 k x A x A x A b a x A x A x A b a x A x A x A b a A A A A b a k k n k n k k n n n n n L M L L L 显然，如果 k=n,则上述方程组有唯一解。 .把通过求解上述方程组来推导求积公式（3.4）的方法叫做待定参数法。 例 3.5.1 推导求积公式 ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ∫0 1 1 2 2 I f = f x dx ≈ A f x + A f x 使其具有尽可能高的代数精度. 本例主要说明待定参数法的处理过程。 3.5.2 高斯求积公式 推导高斯求积公式时分两步走：第一步是利用正交多项式的零点构造高斯求 积公式的节点i x (常称为高斯点)；第二步利用待定参数法计算高斯求积公式中的 系数i A .假设要计算定积分 I[ f ] (x) f (x)dx, b a = ∫ ρ 其 中 ρ (x) 称为被积函数f (x) 的权函数, 一般要求它具有非负性,即 ρ (x) ≥ 0, x∈[a,b.]如果ρ (x) =1,则上述积分为普通积分。假设要推导的求积公式 具有形式： [ ] ( ). 0 Σ= ≈ n i i i I f A f x (3.8) 定理 3.5.1 公式(3.8)中的节点i x , i = 0,1,L,n,是高斯点当且仅当多项式 ( ) ( )( )( ) n 1 0 1 n x = x ? x x ? x x ? x + π 是关于权函数ρ (x) 的n +1次正交多项式,即对所有的次数不超过n 的多项式 P(x),有 4 ( ) ( ) ( ) 0. 1 = ∫ x + x P