结构动力学之多自由度体系的振动问题剖析.ppt

对于n个自由度体系强迫振动方程 Pn(t) Pi(t) P1(t) y1 yi yn 如果荷载时简谐荷载 则在平稳阶段,各 质点作简谐振动. 振幅方程: 如系数矩阵的行列式 可解得振幅{Y} 如系数矩阵的行列式D0=0(θ=ωi) 解得振幅{Y}=无穷大 对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振. .. .. .. .. 例:质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。F(t)=100sin20.96t 解：1）求刚度系数： 刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]： m2=270t m1=315t m3=180t k1=245MN/m k2=196MN/m k2=98MN/m F(t) 负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值. 2、各层柱的剪力幅值 100 3）各层柱的剪力幅值 各楼层的惯性力幅值： 负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值。 89.187 26.045 19.751 Q3=－89.187kN Q2=－89.187 －26.045+100= － 15.232kN Q1=－89.187 －26.045 －19.751 +100= － 34.983kN 另外,剪力也可又侧移刚度来求: kN/mm 惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。 展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0 解得：η1=1.293， η2=6.680， η3=13.027 2）求频率：代入频率方程： ┃[K]－ω2 [M]┃＝0 3）求主振型：振型方程：（[K]－ω2 [M]）{Y}＝0的后两式： （令Y3i=1） （a） 1 0.569 0.163 1 1.227 0.924 1 3.342 2.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。 柔度法 由刚度法振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}={0} 前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} 令λ=1/ω2 ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} 得频率方程： ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0 利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi 可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。 将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。 柔度法 例2： 质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。δ=1/k δ11=δ 解：1）求柔度系数： m 2m m k 柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]： P=1 δ21 δ31 P=1 δ32=4δ δ22=4δ P=1 δ13=δ δ23=4δ δ33=9δ δ12=δ 展开得: 解之: ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151 三个频率为： 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式： 2）求频率： 解得： 同理可得第二、 第三振型 例 3 求图示结构的自振频率及相应的振型。 解: 这是两个自由度的系统，用图乘法求得柔度系数： 代入频率方程，并且令 得; 展开行列式得 ; 解得 从而得第一和第二阶自振频率 为了确定第一阶振型，可将 代入平衡方程。 从上式可求出质体振幅间的关系为 式中， 特别是当 时，将此关系代入上述各式， 振型1： 振型2： 由上述振型图可知，前者是反对称的，后者是 对称的。 所以对于对称系统求解频率和振型，可以分别按对称和反对称两种情况，沿对称轴切开取其一半进行计算即可。 m1 m2 Y11 Y21 m1 m2 Y12 Y22 主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。 对这两种静力平衡状态 应用功的互等定理： 因为ω1≠ω2 主振型之间的 第一正交关系 主振型的正交性y  一般说来，设ωi≠ωj 相应的振型分别为： {y(i)}， {y(j)} 由振幅方程： ( [K]－ω2 [M] ){Y}={0} {Y（j）}T[K] {Y（i）}=ω