微积分.第六节函数的连续性讲解.ppt

* 例2-31 解 * 例2-31 解 * 定义15设函数f(x)在区间I上有定义.若存在x0∈I,使对I内一切x,恒有 四、闭区间上的连续函数 * 定理15在闭区间上连续的函数在该区间一定能取得最大值和最小值. 最值定理 四、闭区间上的连续函数 推论10闭区间上的连续函数一定是有界函数 * 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. * 介值定理与零点定理 * 几何解释: M C m a b * 几何解释: 定义 * 例2-32 证 由零点定理, * * * * * * * * * * 在观察自然与社会现象时,所观察到的许多变量都是“连续不断”变化的,如物体的运动、气温的升降、人和生物的生长、物价的涨跌等.这种现象在数学中体现为函数的连续性,连续性的实质在于,自变量的微小变化引起因变量的微小变化.与连续性相反的现象是“间断”,如断裂、爆炸、恶性通货膨胀、由自然灾害或战争引起的人与生物的大量死亡等.间断的实质在于自变量的微小变化将导致因变量的剧烈变化.当然,这里所谓“微小”与“剧烈”变化的确切含义尚需说明,这得借助极限的概念. 第六节 函数的连续性 * 一、连续与间断的概念 定义 12 设函数 ) ( x f y = 在点 0 x 的某一邻域内有定义， (1)如果 * * 连续与间断具有明显的几何解释：若f(x)连续,则函数y=f(x)的图形是一条连续不间断的曲线； 若x0是f(x)的间断点,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处发生断裂 函数f(x)在区间(a,b)内共有三个间断点：x1、x2、x3. 在这三个点附近f(x)的图形形态各异,但其共同点是曲线y=f(x)在三个点处出现“断裂” * 定理 定义13 * 例2-28 解 x=0处 * 例2-28 解 x=1处 * 例 证 * 例 解 * * 函数间断点的类型 定义14 (1)左右极限都存在的间断点,称第一类间断点： 10 可去间断点 20 跳跃间断点 * (2)左右极限至少有一个不存在的间断点,称第二类间断点。 10 无穷间断点 20 非无穷第二类间断点 * 例如 * 例如 * 例如，例2-28中 解 x=1处 * 例如 * 例如 * 小结 第一类间断点:可去、跳跃 第二类间断点:无穷、非无穷 间断点分类 (见下图) * 可去间断点 第一类间断点 o y x 跳跃间断点 无穷间断点 非无穷第二类间断点 第二类间断点 o y x o y x o y x * 二、连续函数的性质 定理12 例如, 连续函数的四则运算法则 三角函数在其定义域内皆连续. * 定理13 复合函数的连续性 极限运算与函数运算可以交换 * 定理14 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 反函数的连续性 * 4、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ ★ 均在其定义域内连续. * 所有基本初等函数在其定义域内都是连续的. 一切初等函数在其有定义的区间内是连续的. * 利用函数的连续性可以计算一些极限. 初等函数求极限的方法：代入法. 例2-29 解 * 例2-29 解 * 例2-29 解 * 例2-30(1) 解 极限运算与函数运算可以交换 * 例2-30(2) 解 * 例2-30(3) 解 * 常用等价无穷小: * * * * * * * * *