中国电子科技大学量子力学典型考题.doc

电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试 量子力学 课程考试题 A 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期 200 8年 月 日 课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计 一、填空（每空2分，共30分） 1、德布罗意关系为：。（没有写为矢量也算正确） 2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r点处小体积元dτ内粒子出现的几率与 波函数模的平方 （|Ψ|2） 成正比。 3、非简并状态加上微扰后，能级会发生 移动 ；而简并状态加上微扰后，能级会发生 分裂 。 4、任意两个力学量A和B有共同的本征函数，则= 0 ，表明和 对易 。 5、力学量F的算符是 厄密 算符，其本征函数系组成 正交归一完备系 。 6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ，玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。 7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。 8、一维线性谐振子的量子数取n的波函数为ψn(x)，其定态薛定谔方程为，与ψn(x)相对应的能量为。 9、粒子处于三维无限深势阱中，能量为，能量最低的三个能态的简并度分别为 1，3，3 。（答对1或2个给1分，3个全对给2分） 二、简答题（每小题5分，共20分） 1、写出至少五个力学量的算符。 （任意5个，正确一个1分） 2、简述测不准原理及其意义。 测不准原理：粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。 （3分) （更一般意义上，对于力学量A和B，若和不可对易，且， 则存在测不准关系： ） 意义：波粒二象性的反映；反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。 （2分） 3、什么是斯塔克（Stark）效应？试用微扰理论解释斯塔克效应。 斯塔克（Stark）效应是指：原子在外电场作用下，它所发射的光谱谱线会发生分裂。 （2分） 解释：不考虑自旋时，氢原子n＝2的能级4度简并，电子从E2能级跃迁到E1能级只产生一条谱线。当受到外加电场作用后，4度简并的E2能级发生分裂形成3个能级，从而形成3条光谱谱线。 （3分） 4、计算对易子。 假设ψ为任意一个波函数，（2分） （2分） 所以 （1分） 三、计算题（1，2，3题每题15分，4题5分，共50分） 1、氢原子处于状态，试求： （1）能量算符，角动量平方算符和角动量z分量算符的可能取值； （2）上述三个力学量取各可能值的几率； （3）上述三个力学量的平均值。 该波函数未归一化，首先归一化。 假设归一化波函数为 则有：A2（1＋3）＝1，所以 A＝1/2 归一化波函数为 （2分） （1） 能量算符的可能取值：E2 （1分） 角动量平方算符的可能取值：0， （2分，每个1分） 角动量z分量算符的可能取值：0， （2分，每个1分） （2） 能量算符取E2的几率：1 （1分） 角动量平方算符取0的几率： 1/4 （1分） 取的几率：3/4 （1分） 角动量z分量算符取0的几率：1/4 （1分） 取的几率： 3/4 （1分） （3） 能量平均值： E2 （1分） 角动量平方平均值： （1分） 角动量z分量平均值： （1分） 2、粒子在势能为的势阱中运动，粒子的能量EV0，写出以上三个区域的定态薛定谔方程和波函数的通解。 对于图中的三个区域，各个区域的定态薛定谔方程分别为： ①区间： （2分） ②区间： （2分） ③区间： （2分） 分别求解各个区间的定态薛定谔方程，可以得到： （每个2分） 其中， 根据波函数有限的条件可以得到各个区间波函数的通解： （每个1分） 3、运动的粒子处于所描述的状态，其中λ0。求： （1）归一化常数A； （2）在何处发现粒子的几率最大； （3）动量的平均值。 （） （1）归一化： （3分） （2分） （2）粒子在空间出现的几率密度为： （2分） 解得