北师大选修2-2课本习题.doc

第一章 推理与证明 第一节 归纳与类比 1.1 归纳推理 例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。 例2、如果面积是一定的，什么样子的平面图形周长最小，试猜测结论。 1.2 类比推理 例3、已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应正三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？ 例4、根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。 练习 1、杨辉三角的前5行是 请试写出第8行，并归纳、猜想出一般规律。从上面的等式中，你能才想出什么结论？ 2、用面积法证明例3中已知的结论，并类比地用体积法证明猜想。 习题 1—1 1、从下面的等式中，你能猜想出什么？ ，，，。 2、已知，，，试写出的表达式。 3、右图中给出了3层的六边形，图中所有点的个数为为28.按其规律再画下去，可以得到层六边形，试写出的表达式。 4、阅读以下求的值的过程， 因为， ， …… ， 以上各式相加得 ， 所以 类比以上过程，求的值。 5、利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示。 第二节 综合法与分析法 2.1 综合法 例1、求证：是函数的一个周期。 例2、（韦达定理）已知和是一元二次方程（，）的两根。求证：，。 例3、已知：为互不相等的实数，且。求证：。 练习 设是实数，求证：。 2.2 分析法 例4、已知：是不相等的正数。求证：。 例5、求证：。 例6、求证：函数在区间上是增加的。 练习1 1、求证：（其中）。 2、证明：表面积相等的球和正方体，球的体积大于正方体的体积。 例7、如图，已知，分别为△的边，上的高，为的中点，为的中点。求证：。 例8、已知：都是正实数，且。求证：。 练习2 如图所示，已知四边形为正方形，是边上的点，，。求证：。 习题 1—2 1、已知，求证：。 2、设，求证：。 3、证明：在上是增加的。 4、已知都是实数，且，，求证：。 5、已知，，求证：。 6、证明：当时，。 7、已知，，，组成公比为的等比数列，求证：。 8、已知△三内角成等差数列，求证：对应三边满足： 。 9、已知四边形中，，分别为的中点。求证：。 第三节 反证法 例1、已知是整数，2能整除。求证：2能整除。 例2、在同一平面内，两条直线都和直线垂直。求证：与平行。 例3、求证：是无理数。 练习1 求证：是无理数。 例4、已知，求证：，，，中，至少有一个数大于25. 例5、求证：，，不可能是一个等差数列中的三项。 例6、如图，直线平行于平面，是过直线的平面，平面与相交于直线，求证：直线平行于直线。 练习2 用反证法证明：13个人中至少有两个人的生日在同一个月。 习题 1—3 利用反证法证明下列各题 ⑴证明：400个人中至少有两个人生日相同； ⑵证明：100个球放在90个盒子里，至少有一个盒子里不少于两个球； ⑶求证：是无理数； ⑷证明：如果在一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ⑸求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 第四节 数学归纳法 例1、证明：首项为，公差为的等差数列的前项和公式为 例2、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。 例3、用数学归纳法证明：（其中，是正整数）。 练习 用数学归纳法证明：能被整除（是正整数） 习题 1—4 1、求证：（是正整数） 2、平面内有（）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数等于。 3、用数学归纳法证明：（是正整数）。 复习题一 A组 1、运用类比的思想，讨论椭圆、双曲线、抛物线的性质。 2、运用类比的思想，讨论指数函数和等比数列，线性函数和等差数列。 3、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。 平面几何 立体几何 ①等腰三角形 ②等腰三角形的底 ③等腰三角形的腰 ④点到直线的距离 4、用综合法证明：若，，则。 5、用分析法证明：在△中，如果的外角平分线与三角形的外接圆相交于点，那么。 6、用分析法证明：。 7、用分析法证明：若表示△的三条边长，，则 8、分别用扥洗发和综合法证明：在△中，如果，，分别是三角形的高线，和相交于点，那么，。 9、求证：在三角形中，大边对大角。 10、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。 11、根据生物科学